Достаточный признак Лейбница

Теорема Лейбница.

Пусть члены знакочередующегося ряда (2) таковы, что

, (3)

(4)

Тогда ряд (2) сходится, его сумма S положительна и не превосходит первого члена ряда :

.

Доказательство.

,

,

……………………………………………………………

По формуле (4)

,

Следовательно,

.

т.е. последовательность монотонно возрастает и содержит только положительные члены.

Перегруппируем слагаемые в частичных суммах:

,

,

……………………………………………………………

По формуле (4) все разности в скобках и положительны. Следовательно,

.

что доказывает ограниченность последовательности частичных сумм из четного числа членов .

Так как последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел - , причем

.

Рассмотрим последовательность частичных сумм из нечетного числа членов :

В силу условия (3)

.

По доказанному выше

.

Значит

Так как

и

то последовательность частичных сумм ряда (2) сходится, является его суммой и .

Теорема доказана.

Примеры.

1) Исследовать сходимость ряда

Решение. Ряд знакочередующийся. Исследуем его сходимость по признаку Лейбница.

1)

.

2) исследуем монотонность:

1 способ: Рассмотрим два последовательных члена ряда.

,

Сравним знаменатели и :

.

Следовательно,

2 способ. Рассмотрим на области вспомогательную функцию

.

Исследуем ее на монотонность:

При

Так как вспомогательная функция убывает при , то последовательность монотонно убывает.

По признаку Лейбница ряд сходится.

Следует помнить, что признак Лейбница – достаточный признак сходимости.

Замечание 1. Условие (3)

является необходимым условием сходимости ряда (2). Его невыполнение влечет расходимость ряда (2).

Замечание 2. Признак Лейбница сохраняет силу, если требование (4) монотонного убывания последовательности выполняется, начиная с номера .

Замечание 3. Если условие монотонности (4) нарушено, то о сходимости ряда нельзя сделать определенных выводов.

Примеры

1) Исследуем сходимость ряда

в котором , .

Условие (3) выполнено:

но условие монотонности (4) не выполнено, так как

так как является гармоническим рядом.

Следовательно, исходный ряд расходится.

2) Исследуем сходимость ряда

в котором , .

Условие (3) выполнено:

но условие монотонности (4) не выполнено.

Следовательно, исходный ряд сходится.

Следствие. Если в расчетах приблизительно заменить сумму частичной суммой , то ошибка

Пример. Рассмотрим сумму сходящегося ряда

Заменив суммой

мы сделаем отрицательную ошибку, абсолютно меньшую, чем

.

Дата добавления: 2014-01-05