Й учебный вопрос. Способы проверки гипотезы о наличии тренда

Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда.

Рассмотрим наиболее часто используемые на практике критерии
проверки "наличия-отсутствия" тренда: критерий восходящих и нисходящих серий; критерий серий, основанный на медиане выборки и метод Фостера-Стюарта.

Критерий "восходящих и нисходящих" серий реализуется в виде
следующей последовательности шагов:

1) Для временного ряда у₁, y₂,...,y_t..., y_n определяется последовательность, исходя из следующих условий:

			+, если yt+1 – yt > 0, для t = 1÷ n-1
δi	=
		–, если yt+1 – yt < 0, для t = 1÷ n-1

Индекс i может изменяться от 1 до (n-1). В случае, когда последующее
наблюдение окажется равным предыдущему, учитывается только одно
наблюдение.

Таким образом, элементы этой последовательности принимают значение "+", если последующее значение уровня ряда y_t+1 больше предыдущего y_t, и "-" - в противном случае.

2) Подсчитывается v(n) - число серий в совокупности δ_i(i = 1÷n-1), где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или один минус тоже будет считаться серией.

3) Определяется τ_max (n)- протяженность самой длинной серии.

4) Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким. Поэтому, если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда (гипотеза о случайности) отвергается для 5% уровня значимости (с доверительной вероятностью 0,95).

(1.5),

где: n – длина временного ряда;

v(n) – число серий;

τ_max(n) – число подряд идущих плюсов или минусов в самой длинной серии.

Величина τ₀ (n) – табличное значение, зависящее от n-длины исходного ряда.

Длина ряда	n ≤ 26	26 < n ≤ 153	153 < n ≤ 170
Значение τ0 (n)

Квадратные скобки в правой части неравенства (1.5.) означают целую часть числа. Напомним, что целая часть числа А - [А] - это целое число, ближайшее к А и не превосходящее его.

Рассмотрим теперь критерий серий, основанный на медиане выборки.

Этот критерий гипотезу о случайности временного ряда проверяет
следующим образом:

1) из исходного ряда y_t длиной n образуется ранжированный (вариа-
ционный) ряд y'_t: у'₁, у'₂..., у'_n, где у'₁, наименьшее значение ряда y_t.

2) Определяется медиана этого вариационного ряда Ме. В случае нечетного значения n (n = 2m+1) Ме = у'_m+1, в противном случае
Ме=(у'_m + у'_m+1):2.

3) Образуется последовательность δ_i из плюсов и минусов по сле-
дующему правилу:

			+, если yt > Me, t = 1, 2,..., n
δi	=
		–, если yt < Me, t = 1, 2,..., n

Если значение y_t равно медиане, то это значение опускается.

4) Подсчитывается протяженность самой длинной серии τ_max (n) и
общее число серий v(n) аналогично тому,как это делалось в критерии
"восходящих и нисходящих" серий.

5) Для того, чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности ис-
ходного ряда (об отсутствии систематической составляющей) должны вы-
полняться следующие неравенства (для 5% уровня значимости);

(1.7.)

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Другой способ проверки гипотезы о наличии тенденции процесса
основывается на методе Фостера-Стюарта. Этот метод может быть реали-
зован в виде следующей последовательности шагов:

1) Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими,
при этом определяются значения вспомогательных характеристик m_t и l_t:

			mt =1, если yt > yt-1, yt-2,..., y1
mt	=
		mt =0, в противном случае сссслслучаеслучае

			lt =1, если yt < yt-1, yt-2,..., y1
lt	=
		lt =0, в противном случае

Таким образом, m_t = 1, если y_t больше всех предшествующих уровней, а l_t =1, если y_t меньше всех предшествующих уровней.

2) Вычисляется d_t = m_t-l_t для всех t = 2÷n

Очевидно, что величина d_t может принимать значения 0; 1; - 1.

3) Находится характеристика

4) С помощью критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, что
можно считать случайной разность D-0 (т.е. ряд можно считать случайным, не содержащим тренд).

Для этого определяется:

t_набл = ,

где σ_D -средняя квадратическая ошибка величины D:

Значения σ_D находятся на основе специальной таблицы (табл.8.1).

Расчетное значение t_набл сравнивается с критическим значением t_кр, взятым из таблицы t-распределения Стьюдента для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы k = n - 1. Если t_набл > t_кр, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Таблица 8.1.

Значения стандартных ошибок для σ_D для n от 10 до 100

n	σD	n	σD	N	σD	n	σD
	1.964		2,509		2,713		2,837
	2,153		2,561		2,742		2,857
	2,279		2,606		2,769		2,876
	2,373		2,645		2,793		2,894
	2,373		2,681		2,816

Рассмотрим пример использования всех этих критериев для проверки гипотезы о наличии тренда во временном ряду. В таблице 8.2 приведены данные о курсе акций промышленной компании в течение месяца.

Таблица 8.2.

t	yt	t	yt	t	yt	t	yt

Составим таблицу, в которой выполним вспомогательные расчеты, необходимые для проверки наличия тренда в данном ряду по всем трем критериям.

Выявленная тенденция временного ряда моделируется на основе ранее изученных в курсе статистики различных типов уравнений тренда. При этом особое значение имеет проверка адекватности выбранных моделей временного ряда (т ак же, как проверка значимости уравнений регрессии).

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу (в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Случайная остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду). Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда вида:

y _t = u _t + e _t (8.8.)

Тогда ряд остатков будет получен как отклонения фактических уровней временного ряда (y _t) от выравненных, расчетных (ŷ_t):

e _t = y _t - ŷ _t (8.9.)

При использование кривых роста ŷ _t вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения.

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений e _t от времени, или, что тоже самое, о наличие тенденций в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, рассмотренных выше, например критерий серий.

Если вид функции, описывающей систематическую составляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок.

В условиях автокорреляции оценки параметров модели, полученные по методу наименьших квадратов, будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности (с этими свойствами знакомятся в курсе математической статистики). В тоже время эффективность этих оценок будет снижаться, а следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей надежности.

Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существование автокорреляции первого порядка, т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. Значение этого критерия определяется по формуле: _{n n}

d = ∑ (e_t - e_t-1)² / ∑ e _t² (8.10.)

^{t=2 t=2}

Можно показать, что величина d приближенно равна:

d ≈ 2(1- r₁) (8.11.),

где r₁ – коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами e₁ ,e₂, …, e_n-1 и e₂ ,e₃, …, e_n).

Из последней формулы видно, что если в значениях e_t имеется сильная положительная автокорреляция (r₁ ≈ 1), то величина d=0, в случае сильной отрицательной автокорреляции (r₁ ≈ -1) d=4. При отсутствие автокорреляции (r₁ ≈ 0) d=2.

Заключение. Таким образом, на данной лекции мы изучили различные способы проверки наличия тенденции во временном ряду. Но анализ структуры временного ряда эти не исчерпывается. Необходимо выявить наличие периодических (циклических или сезонных колебаний). Этот вопрос рассматривается на следующей лекции.

Дата добавления: 2014-01-05