Гамма-распределение

Дифференциальная функция гамма-распределения имеет выражение

. (2.60)

Здесь λ > 0 — параметр масштаба распределения; r > 0 — параметр формы функции f(х) (рис. 2.18); - ∞<х<∞.

Входящая в (2.60) гамма-функция имеет вид

. (2.61)

Если значения r целочисленные, то Г(r) =(r - 1)!

В теории надежности гамма-распределение используется при цельночисленных r. Если r = 1, получаем показательное распределение (в качестве х примем t):

.

В этом случае показательное распределение — это распределение вероятностей времени наработки до первого отказа.

Рис. 2.18 Дифференциальная и интегральная функции гамма-распределения

При целочисленном r > 1 гамма-распределение есть распределение r независимых случайных величин, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром λ₀.

Гамма-распределение при целочисленном r иногда называют распределением Эрланга - по имени А. Эрланга, построившего первые математические модели в задачах массового обслуживания. Для этого распределения справедливы соотношения:

; (2.62)

; (2.63)

; (2.64)

Математическое ожидание наработки до отказа M[t]=r / λ₀, а дисперсия D[t]=r / λ₀².

При больших значениях r гамма-распределение сходится к нормальному распределению с параметрами:

(M[t])_норм=rM[t], (D[t])_норм=rD[t]. (2.65)

В качестве примера применения гамма-распределения рассмотрим резервированную систему (п. 2.4.2, рис. 2.2), состоящую из n одинаковых элементов (r = n), когда под нагрузкой находится один из них, а остальные элементы автоматически включаются в работу идеальным переключателем (р_п = 1) после отказа работающего элемента.

При показательном распределении наработки до отказа элемента суммарная наработка будет подчинена гамма-распределению. Допустим, что система состоит из трех элементов (r=3) и интенсивность отказов каждого из них λ₀=10^-3 (1/ч). Тогда математическое ожидание наработки системы до отказа последнего элемента равно r/λ₀=3/10^-3=3000 ч.

Дата добавления: 2014-01-05