Линейные дискретные системы. Описание с помощью макроподхода

Таким образом, решение дифференциального уравнения динамики ровно n раз позволяет последовательно определить столбцы фундаментальной матрицы, если вектор начальных условий изменяется указанным выше образом

Опиумная война» открыла Китай для английских товаров. Ввоз дешевых тканей разрушил китайское ремесло, мануфактуру и домашнюю промышленность. Контрибу­ция, наложенная на Китай, и не прекращавшаяся выкачка денег за опиум, привели к обесцениванию денег. Народное возмущение все чаще выливалось в восстания, убийства чиновников. Оживилась деятельность тайных обществ под лозунгами свержения мань­чжурской династии. Очагом недовольства стал юг Китая.

В среде крестьянства возникла новая религиозная секта. Орга­низатором ее был сельский учитель Хун Сюцюань. Сектанты про­поведовали народу идеи христианства, получившие новое содер­жание. В Хун Сюцюане видели спасителя, младшего брата Иисуса Христа, который поведет народ к созданию «царства равенства» на Земле.

В августе 1851 г. повстанцы взяли несколько городов. Все круп­ные чиновники были убиты. Восставшие провозгласили образова­ние нового государства. Они назвали его «небесным государством» («тяньго»), чем подчеркнули свое стремление создать на Земле такую жизнь, какую христианство обещало на небесах. Хун Сю­цюань был провозглашен «царем небесным». Новое государство было названо Тайпин — «Великое благоденствие». Этим словом обозначают и все движение, потрясавшее Китай в течение полу­тора десятилетий. Тайпины двинулись вниз по Янцзы и взяли Нанкин, который стал столицей «небесного государства». Целью тайпинов был Пекин. Во время похода было взято 26 городов. В конце октября 1853 г. отряды тайпинской армии подходили к Пе­кину. Казалось, маньчжурская династия доживала последние дни.

Порядки, введенные тайпинами, находились в разительном контрасте с порядками в Циньской империи. Помещичья и мона­стырская собственность была ликвидирована. В 1853 г. установлено уравнительное распределение земли по числу едоков в семье. Кре­стьяне объединялись в общины, состоявшие из 25 семей. Каждая община была обязана совместно обрабатывать землю. К общине прикреплялись ремесленники. Тайпины стремились уничтожить деньги и торговлю, осуществить не только раздел земли поровну, но и уравнение потребления у людей. Все излишки продукции подлежали сдаче в общественные склады. В городах выдавались пайки. Работать должны были все граждане тайпинского государ­ства.

Тайпины истребляли феодалов, правителей и сановников, лик­видировали старую армию, уничтожали сословное деление, от­менили рабство. Тайпинское государство строилось на военный лад. Каждая семья должна была дать одного рядового. Тайпинская община была низовой административной единицей и в то же вре­мя составляла взвод.

Тайпины запретили курение опиума. Впервые в китайской ис­тории они ввели прививку против оспы. Раньше китайцы ходили с бритыми лбами и косами на макушке — к этому принудили их поработители — маньчжуры. Тайпины срезали свои косы и отпус­кали волосы. Дети обязаны были посещать школы.

Тайпинская армия не смогла взять Пекин, но тайпины закре­пились в Центральном Китае. В 1854 г. они потерпели несколько поражений. Территория тайпинов стала суживаться под ударами противников. В самом государстве тайпинов начался раскол. Анг­личане помогали маньчжурам, предоставляя свои суда для пере­возки войск и оружия. Позже они приняли непосредственное уча­стие в военных действиях. Против крестьян-тайпинов воевали ан­глийские и французские регулярные войска, военные корабли Англии, Франции и США. В 1864 г. враг ворвался в Нанкин. В резне погибло более 100 тыс. граждан столицы «небесного государства».

Окончательное закабаление Китая. В 1899 г. началось новое на­родное восстание «боксеров» (ихэтуаней) против маньчжурской династии и иностранцев. В подавлении его участвовали войска мно­гих государств. В 1901 г. Китай подписал с посланниками 11 держав, так называемый заключительный протокол. Он налагал на Китай огромную контрибуцию. Уплата ее обеспечивалась важнейшими доходами империи, перешедшими под контроль этих держав. Про­токол запрещал ввозить в Китай оружие. Иностранцам предостав­лялся особый квартал в Пекине, где каждое посольство могло иметь свою военную охрану с пулеметами и орудиями. Протокол обязывал китайское правительство наказывать смертной казнью за всякое выступление против иностранцев. Китай окончательно стал полуколонией ведущих держав, которые поделили его на сферы своего влияния.

Режим сёгуната в Японии.

В первой половине XIX в. обострилось положение режима сёгуната Токугава в Японии. Деспотизм сёгунской власти, сословный строй, цеховая регламентация — все это препятствовало развитию страны. Голод 1833— 1837 гг. унес 1 млн. жизней. Происходили восстания. Попытки реформ с целью укреп­ления власти сегуна вызывали лишь недовольство. Наряду с вы­ступлениями народа активизируется и оппозиция в верхах. Одним из проявлений политического кризиса токугавского режима была ставшая очевидной несостоятельность «закрытия» Японии. Пра­вители прибрежных районов устанавливали контрабандные связи с иноземцами, плававшими у берегов Японии. Росло влияние ев­ропейской культуры.

Реформы Мэйдзи и их последствия.

К середине XIX в. на Даль­нем Востоке усилилась экспансия западных стран, в первую оче­редь США. В 1854 г. США, угрожая войной, заключили с Японией ряд договоров, по которым добились открытия двух портов для иностранных судов. Были заключены неравноправные договоры, предоставляющие привилегии США. Затем такие же договоры за­ключили Англия, Франция, Россия и ряд других стран.

«Открытие» Японии ухудшило положение сёгуната. Крупные суммы расходовались на покупки западного вооружения и воен­ных судов. Появление иностранных фабричных товаров подрыва­ло японскую мануфактурную и домашнюю промышленность и ремесло.

Против сёгуната выступали крестьяне, торгово-промышленные круги и низшее дворянство. В 1862 г. правители некоторых южных кланов, более развитых экономически, направили в резиденцию императора для защиты ее от сегуна вооруженные самурайские отряды. Императорский двор в Киото потребовал у сёгуната из­гнания иностранцев. В 1867 г. императором стал Муцухито, от имени которого фактически действовали руководители южных районов. Представители антисёгунской оппозиции вручили сегуну мемо­рандум с требованием, чтобы тот «вернул» императору власть. Начались военные действия; войска сегуна были разбиты. Через некоторое время сёгунат окончательно прекратил свое существо­вание.

Период царствования Муцухито был назван Мэйдзи — «про­свещенное правление». В 1868 г. император изложил новую про­грамму: все важные дела будут решаться с учетом общественного мнения; все должны заботиться о преуспевании нации; все пло­хие обычаи упраздняются, правосудие будет соблюдаться; знания будут заимствованы во всем мире.

Реформы Мэйдзи означали первый важный шаг в превраще­нии японской феодальной монархии в монархию буржуазную. Став на путь независимого капиталистического развития, Япония очень скоро начала осуществлять колониальную экспансию в Азии. При этом она искусно использовала противоречия между другими дер­жавами. Так, США рассчитывали с помощью Японии создать ус­ловия для проникновения американского капитала в Корею и на Тайвань. В 1874 г. при активном участии американцев Япония вы­садила свои войска на Тайване. В 1876 г. Япония под угрозой вой­ны навязала Корее неравноправный договор, и с этого момента началось проникновение туда японских колонизаторов.

Примечание:

В тот период в Японии устанавливается новая форма правления - сёгунат - своеобразная форма военной диктатуры, при которой власть сосредоточена в руках сёгуна - великого полководца.

Канонические нормы матрицы

По строке

По столбцу

Приведем простейший пример, который покажет, как при подготовке моделирования линейной непрерывной системы на ЭВМ появляется ЛДС.

Рассмотрим ЛДУ 2-го порядка в дискретные моменты времени :

.

Оценим производные с помощью конечных разностей:

Обозначим , тогда уравнение приобретает вид (в предположении, что узлы равноотстоящие, и ):

Если ввести коэффициенты: ; ; , то получим т.н. разностное уравнение 2-го порядка:

Основной математической моделью является линейное разностное уравнение (ЛРУ) порядка n: Линейное разностное уравнение порядка n имеет вид:

(1)

В компактном виде: .

В операторной форме: , где , - линейные операторы, а - линейный оператор сдвига

Решить уравнение (1) - найти последовательность , которая при подстановке в уравнение образует верное равенство.

Аналогично дифференциальным уравнениям для однозначного решения уравнения (1) должны быть заданы n начальных условий .

Рассмотрим ЛРУ 1-го порядка:

Разрешим уравнение относительно и непосредственной подстановкой различных значений k «угадаем» решение для произвольного значения номера:

Положим: и .

При

при

при

Эти расчеты позволяют предположить, что:

Из примера следует, что, с одной стороны последовательность решения может быть найдена непосредственно подстановкой значений k для y, а с другой стороны - в виде явного выражения связанного с y₀ и значениями входного воздействия.

Из примера также следует, что полное решение разностного уравнения снова может быть представлено в виде суперпозиции двух видов решений:

- решение связанное только с начальным условием; его будем называть общим решением однородного уравнения;

- решение связанное только с входными воздействиями; его будем называть частным решением неоднородного уравнения (вынужденным решением).

Следует также ожидать, что для линейного разностного уравнения удастся предложить аппарат решения похожий на аппарат решения дифференциального уравнения.

Для нахождения частного решения неоднородного разностного уравнения применим принципы, использованные для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения (придем к аналогу весовой функции для дискретных систем).

Рассмотрим следующую последовательность

Свяжем элементы этой последовательности друг с другом, используя принцип суперпозиции в дискретной форме:

. Легко заметить, что функция

Эта функция носит специальное название символа Кронекера и обозначается . Символ Кронекера играет туже роль, что, и - функция для непрерывных систем, и он может быть использован в качестве элементарного воздействия для определения какой-то характеристики линейной дискретной системы, которую назовем по аналогии с непрерывными системами весовой функцией системы (весовой последовательностью).

Принцип суперпозиции позволяет определить реакцию дискретной системы, как результат воздействия оператора системы на входную последовательность. Считая, что реакция системы определяется через воздействие , применим оператор системы A к воздействию :

Заметим, что оператор A применяется к элементарному воздействию в виде символа Кронекера. По аналогии с непрерывными системами назовем весовой функцией системы. Поэтому реакция системы может быть представлена в виде:

, что представляет собой аналог интеграла свертки для непрерывных систем.

Если система физически осуществима, то

_. Если система описывается ЛРУ с постоянными коэффициентами, то ее весовая функция может быть определена как функция одного аргумента, а именно, реакция примет вид:

_.

Дата добавления: 2014-01-05