Электрон в «потенциальном» ящике

Уравнение Шредингера позволяет решать практические задачи и находить различные состояния частиц в разных внешних полях. Отдельные важные примеры могут быть разобраны и без полного решения уравнения Шредингера, используя лишь представление о волновой функции и учитывая ограничения, накладываемые на нее специфическими условиями данной задачи.

Исследуем поведение частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси Х и ее движение ограничено координатами и . Соответственно, потенциальная энергия частицы равна нулю при и при и (см. рис.), то есть электрон находится в потенциальной яме.

За пределы потенциальной ямы электрон попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы за пределами ямы равна нулю и, следовательно,

.

Так как внутри потенциального ящика уравнение Шредингера принимает вид:

.

Решениями этого уравнения будут функции

, ,

где .

Второе решение не удовлетворяет нашим граничным условиям, так как при , а как мы знаем .

Остается только первое решение .

При должно быть также равно нулю. Следовательно, и , где

Откуда

. (1)

Запишем формулу для кинетической энергии микрочастицы , как ,

где - импульс частицы.

Длина волны де-Бройля связана с импульсом частицы соотношением ,

откуда .

Тогда . Подставив вместо ее значение из формулы (1), получим

.

Мы получим очень важный результат: энергия микрочастицы, находящейся в «потенциальном ящике», может иметь только дискретный ряд значений , соответствующий значениям .

Эти значения называются уровнями энергии, а число - квантовым числом.

Таким образом, согласно уравнению Шредингера, энергия микрочастицы квантуется, а энергетический спектр частица – дискретный.

Следует отметить, что при энергия микрочастицы не равна нулю, а равна . Эту энергию называют нулевой. Она показывает, что микрочастицы никогда не прекращают свого движения.

Дата добавления: 2014-01-05