Вопрос 42. Геометрия кривой

При изысканиях закрепляют только главные точки кривой. При выносе проекта дороги в натуру кривую «рисуют» на местности, закрепляя на ней точки через равные промежутки. Расстояние между смежными точками на кривой называют шагом разбивки и принимают в зависимости от радиуса равным 5, 10, 20 м: чем больше радиус, тем больше шаг разбивки. Иногда и при изысканиях приходится строить не только главные точки кривой. Во всех таких случаях используют несколько геометрических приемов.

Рис. 11.8 Рис. 11.9

На рис. 11.8, 11.9:

R – радиус круговой кривой,

k – шаг разбивки, длина кривой между смежными точками,

а – хорда, стягивающая кривую k,

j – центральный угол, соответствующий кривой k,

b – угол между касательной и хордой,

d – угол между смежными хордами,

f – стрела изгиба кривой k.

х, у – прямоугольные координаты точки на кривой в системе координат,

связанной с началом кривой и направлением тангенса (касательной).

1. Центральный угол j:

· в радианах j = k / R; (11.1)

· в градусах j ° ; (11.2)

· в минутах j ¢ . (11.3)

2. Угол между касательной и хордой b = j / 2. (11.4)

Используется при построении первой точки на кривой и касательной в конце кривой.

3. Угол между смежными хордами (угол поворота хорды) d = j. (11.5)

Используется для построения второй и последующих точек на кривой.

4. Длина хорды a/ 2 = R sin (j / 2) Þ a = 2 R sin (j / 2). (11.6)

Используется при разбивке кривой способами углов и продолженных хорд. Шаг разбивки подбирается таким, чтобы разность между кривой и хордой была меньше точности разбивки (5...10 мм).

5. Прямоугольные координаты точки на кривой (см. п. 10.3.3):

x = R sin j; y = R – R cos j. (11.7)

В пределах переходной кривой координаты находят по формулам:

; , (11.8)

где s – длина переходной кривой от начала до данной точки,

C – параметр переходной кривой, С=R∙l.

Используются при разбивке кривой способом прямоугольных координат.

Путейцы периодически контролируют геометрию пути в кривой. Для этого измеряют стрелы изгиба рельса от 20-метровых хорд, а при радиусах меньше 400 метров – от 10-метровых хорд. Такая съёмка даёт возможность определить фактическое положение точек начала и конца переходных кривых и средний радиус круговой кривой. Для измерения стрел изгиба кривую по наружной рельсовой нити размечают на равные отрезки (деления) по 10 метров, а при радиусах меньше 400 метров – по 5 метров. Стрелы изгиба f (натурные стрелы) измеряют в каждой точке деления от хорды длиной два деления, т. е. через 10 м при хорде 20 м и через 5 м при хорде 10 м.

Первая хорда поворачивает кривую на угол β = φ /2 (рис. 11.8). При принятом способе съёмки число точек измерения стрел изгиба удваивается. Поэтому каждая последующая хорда поворачивает кривую тоже на угол β, а Σβ равна полному углу поворота кривой. Выведем важные для путейцев формулы, связывающие стрелу изгиба f с радиусом круговой кривой R, длиной хорды a и углом поворота хорды β.

6. Зависимость стрелы изгиба от хорды и радиуса (рис. 11.9):

R ² = ( a/ 2 ) ² + ( R – f ) ² Þ 2 Rf = ( a / 2 ) ² + f ².

При R = 500 м, а = 20 м Þ (а / 2 ) ² = 100, f ² = 0,01.

Поэтому с точностью до малой второго порядка .(11.9)

По формуле (11.9) можно определить проектное значение стрелы изгиба, соответствующее заданному радиусу. Из этой же формулы следует, что по измеренным (натурным) стрелам изгиба можно вычислить среднее значение радиуса круговой кривой:

, (11.10)

где f _ср– среднее значение стрелы изгиба.

7. Зависимость стрелы изгиба от хорды и угла поворота (рис. 11.9):

Þ .

Если f выразить в миллиметрах, то при a = 20 м получим

f = 1,45444 β ¢, мм. (11.11)

Просуммировав почленно формулу (11.11), получим

S f = 1,45444 Sβ ¢, мм (11.12)

или Σβ ′ = 0,68755 S f, (11.13)

где Sβ ¢ – полный угол поворота кривой в минутах.

Формула (11.12) даёт возможность вычислить проектную сумму стрел изгиба и сравнить это значение с суммой измеренных (натурных) стрел, а формула (11.13) позволяет по сумме измеренных стрел вычислить полный угол поворота кривой.

Детальная разбивка кривой способом прямоугольных координат

Разбивка кривой этим способом описана в п. 10.3.3 – этим способом переносят пикеты на кривую при изысканиях. По заданным радиусу кривой R и шагу разбивки k прямоугольные координаты х, у точек на кривой вычисляют по формулам (11.7, 11.8) или выбирают из ранее упоминавшихся таблиц для разбивки кривых, где для всех стандартных значений радиуса R приведены значения величин k–x и y. Разбивку ведут от начала и конца кривой до середины кривой. Это основной, наиболее точный способ разбивки – положение последующих точек на кривой не зависит от точности выноса предыдущих, т.е. погрешности измерений не накапливаются. Способ применяется на равнинной открытой местности.

11.7.3. Детальная разбивка кривой способом углов

Смысл этого способа показан на рис. 11.8. В точке НК устанавливают теодолит, от направления тангенса кривой откладывают угол j / 2, получают направление на первую точку. Отложив по этому направлению отрезок, равный длине хорды а, закрепляют точку 1 на кривой. Вторую и последующие точки на кривой получают линейно-угловой засечкой: теодолитом строят угол 2 j / 2, а из точки 1 рулеткой откладывают хорду а так, чтобы конец ее лежал на визирном луче. Данные для разбивки по заданным радиусу R и шагу разбивки k находят по формулам (11.2), (11.6) или выбирают из тех же таблиц. При разбивке переходных кривых длины хорд и углы вычисляют по координатам точек с помощью формул обратной геодезической задачи.

Этот способ используется при сооружении кривой в насыпи. Достоинством его является выполнение линейных измерений вблизи кривой. Недостатком способа является быстрое накопление погрешностей: положение каждой последующей точки зависит от точности построения всех предыдущих.

11.7.4. Детальная разбивка кривой способом продолженных хорд

Смысл этого способа показан на рис. 11.8. Получив первую точку на кривой способом прямоугольных координат, продолжают створ линии НК–точка 1, откладывают на нем от точки 1 отрезок, равный длине хорды а, шпилькой отмечают точку 2′. Положение точки 2 на кривой получают линейной засечкой: из точки 2′ рулеткой откладывают расстояние 2 у, а из точки 1 лентой откладывают хорду а. Аналогично получают следующие точки.

Такой способ иногда используют в выемках и тоннелях. Недостатком его является быстрое накопление погрешностей.

11.7.5. Разбивка кривой в закрытой местности, кратные кривые

Шаг разбивки кривой кратен целому числу метров. Такие отрезки кривых называют кратными кривыми. При разбивке длинных кривых или при трассировании дороги в залесённой местности кривую разбивают на части равной длины (обычно пикет) и измерение линий ведут не по касательным, а по хордам, заменяя кривую вписанным многоугольником. При подготовке данных используют формулы (11.1–11.6). Поясним сказанное примером.

Пример 4. Требуется построить в лесу кривую с параметрами:

R = 1000 м, q = 20°22,4′, начало кривой на ПК4 (рис. 11.10). Разбивка кривой любым из приведенных ранее способов потребует значительных рубок.

Подготовка данных:

· по формуле (10.1) вычисляют длину кривой К = 355,57 м, это составляет три пикета и остаток 55,57 м, т.е. k ₁ = 100 м и k ₂ = 55,57 м;

· по формуле (11.2) вычисляют углы поворота, соответствующие кривым k ₁, k ₂: j₁ = 5^o43,8¢, j₂ = 3^o11,0¢, контроль: 3 j₁ + j₂ = q;

· по формуле (11.6) вычисляют длины хорд, соответствующих кривым:

а ₁ = 99,97 м, а ₂ = 55,57 м.

Последовательность разбивки (рис. 11.10):

Рис. 11.10

· устанавливают теодолит T5 в точке НК, ориентируют лимб на предыдущий пикет отсчетом 180° (по прямой назад);

· поворотом алидады устанавливают на горизонтальном круге отсчет j ₁ / 2 = 2°51,9¢ и по полученному направлению на ПК5 прорубают просеку;

· откладывают расстояние а ₁ = 99,97 м и закрепляют на кривой ПК5;

· переносят теодолит в полученную точку ПК5, ориентируют лимб отсчетом 180° назад на точку НК;

· поворотом алидады устанавливают на горизонтальном круге отсчет j ₁ = 5°43,8¢ и по полученному направлению на ПК6 прорубают просеку;

· откладывают хорду а ₁ = 99,97 м и закрепляют ПК6 на кривой;

· аналогично получают на кривой ПК7; таким образом была построена кривая длиной 300 м;

· переносят теодолит в точку ПК7, строят угол j ₂ = 3°11,0¢, прорубают просеку, откладывают отрезок а ₂ = 55,57 м и фиксируют точку конца кривой с пикетажным положением ПК7 + 55,57;

· переносят теодолит в точку КК, строят аналогично предыдущему угол j ₂ / 2 = 1°35,5¢ и получают направление касательной, по которому продолжают разбивку пикетажа, т.е. откладывают отрезок 100 – 55,57 = 44,43 м и получают ПК8 на прямой.

При таком способе разбивки все измерения выполняются на узких просеках в непосредственной близости от кривой – стрела изгиба, найденная по формуле (11.9), не превышает 0,5 м.

Если потребуется детальная разбивка всей кривой, то ее выполняют в пределах уже построенных частей одним из ранее рассмотренных способов.

Дата добавления: 2014-01-05