Найдем напряженность поля бесконечной прямой равномерно заряженной нити

Рассмотрим систему из двух одинаковых неподвижных точечных зарядов.

Напряжённость поля, создаваемого зарядами, равна сумме напряжённостей полей каждого из зарядов . Тогда получаем картину силовых линий.

Пусть l - линейная плотность заряда нити (это означает, что кусок нити длиной L имеет заряд q=l×L).

Будем искать напряженность в точке, расположенной от нити на расстоянии R (точка наблюдения и нить лежат в плоскости рисунка). Вдоль нити вводим ось Х, начало которой является основанием перпендикуляра, опущенного из рассматриваемой точки на нить.

На некотором расстоянии от начала выделяем малый кусок нити длиной d x, тогда заряд этого куска dq = l×d x. Рассматривая заряд этого куска нити как точечный заряд, находим создаваемое им поле с вектором напряженности в рассматриваемой точке . Симметричный (относительно начала оси Х) точечный заряд dq¢ создает поле с симметричным вектор напряженности . Вектор их суммы лежит на перпендикуляре к нити. Таким образом, общий вектор напряженности тоже должен быть направлен перпендикулярно нити. Следовательно, при суммировании векторов напряжённостей от всех точечных зарядов на нити можно учитывать только их перпендикулярную составляющую, т.е. найти сумму проекций на перпендикулярное направление: .

Так как , , , то, применяя операцию интегрирования, находим:

.

Интегрируем

Берём второй интеграл по частям

Откуда

.

Окончательно имеем: .

3) Найдем напряженность поля на оси заряженного кольца, радиус которого R, а заряд Q.

Разобьем кольцо на большое количество участков, опирающихся на центральный угол . (Длина одного участка .) Заряд одного участка , где Q – заряд кольца. Будем считать, что Q >0. Принимая малый участок кольца за точечный заряд можно найти напряженность поля на оси кольца, создаваемого одним участком: , где - расстояние от заряда до рассматриваемой точки. При этом участок, расположенный симметрично относительно центра кольца, создает поле в рассматриваемой точке с вектором напряженности, симметричным уже найденному. Их сумма будет лежать на оси кольца (вектор ). Поэтому при суммировании всех векторов напряженности (от каждого из участков) будем иметь в рассматриваемой точке результирующий вектор, направленный по оси кольца, длина которого равна , где . В итоге получаем,

.

Отметим, что в центре кольца (z =0) напряженность поля равна нулю.§

4) Рассмотрим бесконечную заряженную плоскость. Пусть поверхностная плотность заряда равна s. В силу симметрии вектор напряженности направлен перпендикулярно плоскости.

Найдём напряжённость поля в точке, находящейся на расстоянии z от плоскости.

Если плоскость представить как набор тонких, вложенных друг в друга соосных колец, ось которых проходит через искомую точку, то можно воспользоваться результатом предыдущего примера.

Заряд тонкого кольца, радиус которого R и толщина dR равен dq =s× d S=s×2p RdR.

Тогда искомая напряжённость .

Переходя к интегрированию, получаем .

Величина напряженности поля заряженной пластины ,

где - поверхностная плотность заряда (Кл/м²).§

Электрическое поле называется однородным, если вектор напряженности в каждой точке поля одинаковый (по величине и по направлению). Следовательно, поле бесконечной заряженной пластины однородное.

Дата добавления: 2014-01-05