Определение. Минором K-того порядка матрицы будем называть определитель квадратной матрицы K-того порядка, который находится в kвыбранных строках и столбцах матрицы А

Определение.

Определение.

Определение.

Минором K -того порядка матрицы будем называть определитель квадратной матрицы K -того порядка, который находится в k выбранных строках и столбцах матрицы А.

Пример:

Рассмотрим квадратную матрицу.

Дополнительным минором к выбранному минору K -го порядка будем называть определитель матрицы, составленный из остальных невыбранных строки столбцов.

.

Алгебраическим дополнением для минора K-того порядка будем называть число, равное произведению его дополнительного минора на, то есть обозначенными

Теорема Лапласа

Определитель матрицы размера равен сумме всевозможных произведений миноров K-того порядка, расположенных в выбранных kстроках и строках, на их алгебраические дополнения.

Доказательство:

Нам необходимо доказать

1. Рассмотрим случай, когда минор располагается в левом верхнем углу.

Произвольный член минора K-того порядка имеет следующий вид:

После умножения мы получим сумму произведений следующего вида:

.

Всего мы имеем произведения из nэлементов из матрицы A, причем они взяты по одному из каждой строки и каждого столбца. Определим знак этого произведения:. Последнее равенство верно, так как число инверсий в объединенной перестановке будет равно сумме и. Элементы и не могут образовывать инверсий между собой. Общий вид элемента будет иметь вид:.

А это - член определителя матрицы A.

2. Рассмотрим произведение вида.

Переместим строку на место первой строки, последовательно меняя ее местами с соседними строками. Для этого нам необходимо перестановку соседних строк, строку необходимо переместить на место 2 строки, перестановки соседних x строк… и т.д. и в итоге последних строк.

Аналогично поступаем со столбцами. В результате проведенных преобразований мы получим определитель:

.

А таким образом, в соответствии с доказательством в пункте 1, получаем, что будет состоять из членов определителя B.

Но учитывая полученное выражение для определителя В, можно увидеть, что соответствующе члены определителя В будут входить в определитель А с нужным знаком. Таким образом, данное произведение представляет собой сумму членов определителя А.

3. Покажем, что любой член определителя А может быть получен в произведении некоего минора на его алгебраическое дополнение. Рассмотрим:.

Выпишем элемент из строк в рассматриваемый член определителя. Таким образом можно рассмотреть минор, находящийся в строках и столбцах с номерами. Полученное произведение считаем членом данного минора, а остальные элементы рассматриваемого члена определителя будут образовывать член алгебраического дополнения, то есть действительно рассматриваемый член определителя будет получен в результате произведения некоего минора на его алгебраическое дополнение.

4. Покажем, что число слагаемых в правой и левой частях равенства равны и совпадают. Как известно, в определитель входит.

Покажем теперь, что число слагаемых в правой части равно.

Произведение вида будет равно. Исходя из знаний комбинаторики, очевидно, что различных миноров K-го порядка, расположенных в выбранных kстроках. Таким образом, число в правой части будет равно:.

Число слагаемых в право и левой части совпадают.

Исходя из пунктов доказательства, получаем, что теорема верна.

Следствие из теоремы Лапласа:

Определитель равен сумме произведений элементов некоторой его строки их алгебраические дополнения.

Пример:

Преобразуем данный определитель таким образом, чтобы в некоторой строке все, кроме 1, были 0.

.

Получили нули в первой строке. Для этого из второго столбца выпишем 1, умноженную на 5, а из 3 столбца – 1, умноженную на 4.

Дата добавления: 2014-01-05