ЛЕКЦИЯ 8. Статически неопределимые задачи при осевом растяжении-сжатии. Определение внутренних усилий и перемещений сечений. Расчёты на прочность и жёсткость

ЛЕКЦИЯ 7. Экспериментальные исследования материалов при растяжении-сжатии. Диаграммы напряжений-деформаций. Влияние температуры и скорости нагружения. Понятие о наклёпе и ползучести.

Экспериментальные исследования материалов при растяжении-сжатии. Испытания образцов материалов, выполняемые для определения характеристик прочности и пластичности материалов, называются механическими испытаниями.

F

А

В

С

F_pr

F_е

F_sS

F_max

D

L

L ’

К

F _р

Рис. 7.1. Типичная диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали

Первый – прямолинейный участок диаграммы (до точки А) – характеризует прямопропорциональную зависимость между нагрузкой F и удлинением, описываемую законом Гука (). Точке А диаграммы соответствует нагрузка F_pr, вызывающая в поперечном сечении образца нормальное напряжение, при котором ещё справедлив закон Гука, называется пределом пропорциональности, определяемое по формуле (7.1).

(7.1)

Здесь А ₀ – начальная площадь поперечного сечения образца, без учёта её уменьшения в процессе деформации. Напряжения, вычисляемые с использованием начальной площади сечения А ₀, называются условными.

Вторая характерная точка диаграммы – В. Она соответствует пределу упругой работы материала и располагается на следующем – криволинейном – участке.

Пределом упругости называется напряжение, при котором относительная остаточная деформация материала достигает 0,05% и определяется как

(7.2)

Точки А и В располагаются очень близко друг другу, поэтому обычно считают, что нагрузки F_pr и F_е примерно равны, так же как и пределы и.

Часть диаграммы, расположенной левее точки В, характеризует упругую стадию работы материала образца, а правая часть диаграммы – упруго-пластическую стадию.

При превышении нагрузкой значения F_е наблюдается ускоренный рост деформации образца, а при достижении некоторого значения F_s удлинение образца увеличивается практически при постоянной нагрузке (материал «течёт»). Участок диаграммы, характеризующийся постоянством ординат F = F_s = const, называется площадкой текучести. Его начало – точка С – является третьей характерной точкой диаграммы.

Напряжение, отвечающее началу площадки текучести, при котором происходит рост деформаций при примерно неизменной нагрузке, называется пределом текучести:

(7.3)

В процессе текучести в кристаллах феррита интенсивно развиваются сдвиги по плоскостям скольжения, наклонным в среднем на 45^о к продольной оси образца. Результаты этих сдвигов можно наблюдать на поверхности плоского отполированного образца в виде наклонных (под углом) полос, называемых линиями Чернова – Людерса.

После площадки текучести начинается стадия упрочнения материала: на диаграмме наблюдается увеличение нагрузки, воспринимаемой образцом. По мере увеличения деформации рост нагрузки становится всё более медленным, что объясняется уменьшением площади поперечного сечения образца. До точки D (рис. 7.1) образец деформируется равномерно, т.е. размеры всех поперечных сечений практически одинаковы).

Дальнейшее уменьшение площади сечения приводит к тому, что образец оказывается неспособным воспринимать возрастающую нагрузку, на диаграмме возникает максимум (точка D), после чего нагрузка плавно уменьшается, и при некотором значении F _Р происходит разрыв образца.

Напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке F_max, называется пределом прочности или временным сопротивлением материала:

(7.4)

а сила F_max носит название нагрузки, соответствующей пределу прочности. Величина F_max является ординатой высшей точки D диаграммы растяжения.

Считают, что при нагрузке F_max начинается разрушение; качественно меняется характер деформации образца: процесс равномерного растяжения становится неустойчивым, и деформации локализуются в небольшом объёме образца. Внешне это проявляется возникновением на небольшом участке длины образца четко выраженного сужения (шейки). Место развития шейки определяется случайными факторами: малыми отклонениями от геометрии образца, микродефектами его поверхности, неоднородностью материала и т.п.

Разрыв образца происходит в самом узком месте шейки. Площадь сечения в месте разрыва А ₁ в несколько раз меньше площади сечения за пределами шейки и в 3–5 раз (для малоуглеродистой стали) меньше начальной площади сечения А ₀. Если учитывать действительную площадь в месте разрыва, то истинное напряжение в шейке при разрушении

(7.5)

оказывается значительно больше предела прочности Но использовать его в практических расчётах нельзя, так как после образования шейки и связанного с этим существенного изменения геометрии образца условия работы материала в зоне сосредоточенных деформаций (в шейке) становятся резко отличными от исходных: вместо линейного напряженного состояния возникает объёмное.

Пределы пропорциональности, упругости, текучести и прочности называются характеристиками прочности материала.

К механическим характеристикам относятся также и характеристики пластичности материала – относительное остаточное удлинение после разрыва и относительное остаточное сужение поперечного сечения после разрыва.

По диаграмме растяжения может быть построен график зависимости между условными напряжениями и относительными деформациями (рис. 7.2, сплошная линия).

Диаграммы напряжений-деформаций. Полученная таким образом диаграмма является условной, так как при определении напряжений не учитывается фактическое изменение площади поперечного сечения, а при вычислении относительных деформаций игнорируется резкая неравномерность распределения деформации по длине образца в стадии разрушения (после образования шейки). Если учесть указанные факторы, то можно получить истинную диаграмму напряжений, показанную на рис. 7.2 штриховой линией.

s_в

s _pr

s _e

s _s

Рис. 7.2. Диаграмма напряжение-деформация

s_в

s_в

s _pr

s _s

а) б)

Рис. 7.3. Диаграммы растяжения: а) для материалов, не имеющих площадки текучести; б) для хрупких материалов

Для испытаний образцов на сжатие изготавливают короткие цилиндрические образцы, у которых h ≤3 d (сталь, чугун, цветные металлы). Образцы из дерева, бетона, цементного камня и др. изготавливают в виде кубиков. Ниже приведены типичные диаграммы сжатия некоторых материалов.

s_в

s_в

а) б) в) г)

s_s

Рис. 7.4 Диаграммы сжатия: а) для пластичных материалов; б) для чугуна; в) для бетона; г) для дерева

У хрупких материалов пределы прочности при сжатии значительно выше пределов прочности при растяжении.

Влияние температуры и скорости нагружения. Понятие о наклёпе и ползучести. Механические характеристики на растяжение и сжатие не являются неизменными параметрами материала, они зависят от температуры, термической и механической обработки, радиоактивного облучения, скорости нагружения и некоторых других факторов. При повышении температуры характеристики прочности понижаются, а характеристики пластичности повышаются. При понижении температуры повышается хрупкость – хладноломкость. Термическая обработка – закалка повышает прочностные характеристики, но понижает характеристики пластичности. Влияние радиоактивного облучения аналогично понижению температуры и зависит от дозы. При ускоренном нагружении возрастают предел текучести и временное сопротивление, механическая обработка приводит к наклёпу. Наклёп – увеличение упругих характеристик материала при предварительной пластической деформации

В загруженных конструкциях происходит перераспределение усилий, напряжений, перемещений и деформаций, связанное с ползучестью и релаксацией. Многие материалы обладают ползучестью, под которой понимается рост деформаций во времени при постоянных напряжениях. Под релаксацией понимается уменьшение напряжением с течением времени при постоянной деформации.

К статически определимым системам относятся такие, в которых из уравнений равновесия (уравнений статики) можно определить все неизвестные внутренние усилия и опорные реакции. Примеры таких систем приведены на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Статически определимые системы

Все системы, приведённые на рис. 8.1, являются не только статически определимыми, но и геометрически неизменяемыми, т.е. перемещения любых точек систем происходят только за счёт деформаций элементов.

На ряду со статически определимыми, широкое применение в строительстве находят и статически неопределимые системы. В статически неопределимых системах для нахождения неизвестных опорных реакций и внутренних усилий недостаточно уравнений статики. Пример таких систем приведён на рис. 8.2.

Рис. 8.2. Статически неопределимые системы

У всех систем, приведённых на рис. 8.2 число всех неизвестных превышает число уравнений статики на единицу, т.е. степень статической неопределимости этих систем равна единице или они один раз статически неопределимы. Бывают системы, степень статической неопределимости которых равна двум, трём и т.д.

Для решения статически неопределимых задач, т.е. для раскрытия их статической неопределимости необходимо привлечь дополнительные уравнения. Количество этих уравнений зависит от степени статической неопределимости. В качестве дополнительных уравнений используют уравнения деформаций, выражающие связь между деформациями отдельных элементов системы (или их удлинениями или перемещениями точек системы).

Для возможности использования деформационного уравнения при решении статически неопределимой задачи уравнение преобразуют и выражают через усилия. Для этого рассматривается физическая сторона задачи и принимается во внимание связь между напряжениями и деформациями, выраженная графически диаграммой напряжений. Истинную диаграмму напряжений (рис. 7.2) представить в аналитической форме затруднительно. Для упрощения расчётов используют идеализированную диаграмму Прандтля (рис. 8.3), состоящую из двух прямолинейных участков.

Рис. 8.3. Диаграмма Прандтля

Эта диаграмма проста и хорошо отражает действительное поведение пластичного материала в реальных конструкциях. Диаграмма Прандтля распространяет зону действия закона Гука до площадки текучести, после чего предполагается, что материал испытывает текучесть при любой деформации.

Использование диаграммы Прандтля позволяет производить расчёт статически неопределимых систем в двух возможных постановках.

Во-первых: чисто упругая стадия работы материала – ни в одной из точек конструкции напряжение не достигает предела текучести, т.е. закон Гука остается справедлив на протяжении всего нагружения.

Во-вторых: упруго-пластическая стадия работы материала, при которой в начальный период загружения материал работает в упругой стадии, а затем по мере роста внешних сил, в отдельных или во всех элементах конструкции развивается текучесть при.

Расчёт статически неопределимых систем при упругой работе материала. Вернёмся к одной из статически неопределимых систем, приведённых на рис. 8.2.

Рис. 8.4.

Рассмотрим статическую сторону задачи. Составим уравнение моментов относительно точки О.

Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Запишем уравнение деформаций. Положение бруса до и после нагружения показано на рис.8.4.

Ввиду малости смещений считаем, что точки В и С смещаются перпендикулярно оси бруса, т.е. вертикально вниз. Т.к. ВВ ₁ = Δ l ₁, СС ₁ = Δ l ₂, то деформационное уравнение в данной системе имеет вид Δl ₂ = 2 Δl ₁ (это следует из Δ СОС ₁ Δ ВОВ ₁).

Рассмотрим физическую сторону задачи. С учётом работы материала обеих подвесок в зоне только упругих деформаций это можно записать как

Здесь l ₁, l ₂, Е ₁ А ₁, Е ₂ А ₂ – заданные длины и жёсткости первой и второй подвесок, соответственно. Получено уравнение деформаций, выраженное через неизвестные внутренние усилия N₁ = R _В и N ₂ = R _С.

Решим совместно уравнения (8.1) и (8.2), это позволит определить внутренние усилия в подвесках.

По сравнению со статически определимыми все статически неопределимые системы обладают рядом отличительных свойств.

Свойства статически неопределимых систем.

1. Усилия в стержнях статически неопределимой системы зависят не только от внешней нагрузки и расчётной схемы сооружения, но и от соотношения жесткостей.

2. В элементах статически неопределимой системы появляются усилия и напряжения, вызванные изменением температуры хотя бы одного элемента (температурные усилия и напряжения).

3. В элементах статически неопределимой системы появляются усилия и напряжения, вызванные сборкой конструкции из неточно изготовленных (по длине) элементов (монтажные усилия и напряжения).

В общем виде зависимость для определения изменения длины стержня можно записать как

Здесь знак плюс соответствует следующему:

перед скобками – увеличению длины стержня по принятой схеме деформирования;

перед - растягивающей силе N, соответствующей данному стержню;

перед - увеличению температуры стержня;

перед - завышению длины изготовленного стержня против проектного значения.

В противоположных случаях ставится знак минус.

Дата добавления: 2014-01-05