Тема 4

Аналитический способ определения равнодействующей плоской системы сходящихся сил, аналитические условия равновесия.

Пусть дана плоская система n сходящихся сил (Р₁, Р₂, Р₃,…, Р_n). Равнодействующая этой системы равна

R = ∑P_i.

В плоскости действия данной системы выберем ось координат и спроецируем данные силы и их равнодействующую на эту

X

Р₁

P_1y

P₂

Р_2y

P_2x 0 Р_3x P_2x Y

Р_3y Р₃

Из математики известно свойство проекции векторной суммы, на основании которого мы можем утверждать, что проекция равнодействующей на ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось, т. е.

R_x = ∑ P_ix.

Правую часть этого равенства будем записывать упрощенно, а именно:

R_x = ∑X.

Для того чтобы определить равнодействующую любой плоской системы сходящихся сил, спроецируем их на оси координат x и y, алгебраически сложим проекции всех сил и найдем, таким образом, проекции равнодействующей:

R_x = ∑X, R_y = ∑ Y.

Зная проекции, определим модуль и направление равнодействующей:

модуль равнодействующей R = √ R_x² + R_y²;

направляющий тангенс угла между вектором R и осью x

tg (R, x) = R_y /R_x.

Линия действия равнодействующей проходит через точку пересечения линий действия составляющих сил.

Аналитические условия равновесия плоской системы сходящихся сил.

Если данная плоская система сходящихся сил находится в равновесии, то равнодействующая R такой системы, а значит, и проекции равнодействующей на оси координат равны нулю:

R = 0, R_x = 0, R_y = 0.

Учитывая, что

R_x = ∑X, R_y = ∑Y,

Получаем равенства, выражающие аналитические условия равновесия плоской системы сходящихся сил:

∑X = 0, ∑Y = 0.

Формулируются эти условия следующим образом:

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций этих сил на каждую из координатных осей равнялась нулю.

Выведенные условия равновесия справедливы для любых осей координат, но для упрощения решения задач рекомендуется оси координат выбирать по возможности перпендикулярными неизвестным силам, чтобы каждое уравнение равновесия содержало одно неизвестное.

Когда направление искомой силы неизвестно, ее можно разложить на две составляющие по заданным направлениям, обычно по направлениям координатных осей; по найденным двум взаимно перпендикулярным составляющим легко определяется неизвестная сила.

Если при решении задач аналитическим способом искомая реакция получится отрицательной, то это значит, что действительное направление противоположно первоначально выбранному.

Дата добавления: 2014-01-06