Закон Гука при растяжении и сжатии

Напряжения при растяжении и сжатии

Значения коэффицента m

Материал	Значение m	Материал	Значение m
Чугун.	0,23... 0,27	Стекло	0,25
Медь	0,31... 0,34	Фанера	0,07
Дюралюминий	0,32... 0,36	Пробка	0,00
Свинец	0,45	Сталь.	0,25... 0,33

Итак, деформация бруса при растяжении и сжатии характеризуется абсолютным и относительным удлинением.

Метод сечений дает возможность определить только сумму внутренних сил, действующих в интересующем сечении. Однако при расчете на прочность наиболее важнейшим является вопрос об интенсивности внутренних сил, т.к. надежная работа любой детали возможна лишь в том случае, когда величина внутренних сил, приходящихся на единицу площади сечения, не превосходит некоторого внутреннего предела.

Установим связь между внешней нагрузкой, приложенной к детали, и внутренними силами сопротивления. Допустим, что брус с площадью поперечного сечения А растягивается двумя силами F (рис. 4.5).

DA

DN

F

N

s

F

F

F

Рис. 4.5

Рассечем брус плоскостью перпендикулярной к его оси и отбросим правую часть (см. рис. 4.5). Тогда, чтобы левая часть осталась в равновесии, необходимо действие отображенной правой части на левую заменить действием внутренних сил. Равнодействующая этих внутренних сил N равна внешней силе F, т.е. N = F. (4.7)

На элементарную площадку A приходится сила упругости N. На всю площадь приходится сила, поэтому если принять, что внутренние силы распределяются по сечению равномерно, то в этом простейшем случае напряжение вычисляется делением суммарной силы, действующей в сечении на всю площадь сечения, т.е.

, но т.к. N = F,

то, (4.8)

где F - внешняя сила [H];

A - площадь сечения [м²];

s - нормальные напряжения [Па].

Это напряжение направленно перпендикулярно к плоскости сечения (напряжение – вектор, имеющий направление внешней силы по нормали к сечению) и поэтому называется нормальным напряжением.

Английский физик Роберт Гук* проделал множество опытов с самыми разными предметами из самых разных материалов различной геометрической формы (рис. 4.6) последовательно подвешивая на них грузы и, измеряя возникающие перемещения, и установил, что в подавляющем большинстве случаев перемещение в определенных пределах пропорциональны действующим силам.

Рис. 4.6.

В результате действия других сил в теле линейная зависимость между перемещениями и внешними силами сохраняется как при возрастании, так и при убывании внешних сил. Опыты показали, что сила в 100Н вызывает удлинение проволоки вдвое больше, чем сила в 50Н, а при последующем снятии нагрузки с тела первоначальные размеры проволоки полностью восстанавливаются. При многократном повторении данного опыта получаются одни и те же результаты. Впервые данная закономерность была вычислена Р. Гуком в 1976 г в дальнейшем ей присвоили название закон Гука.

Рис. 4.6

Очевидно, перемещения, возникающие в теле при нагружении, зависят от трех факторов:

* от величены действующей на него внешней нагрузки.

* от размеров и геометрической формы тела;

* от свойств материала, из которого тело изготовлено.

Рис. 4.6.

Проводя опыты с одинаковыми по размерам двумя стержнями, изготовленными из разных материалов, например, стали и резины, прикладывая к ним одинаковые силы, можно заметить, что стальной стержень будет более жесткий (лучше будет сохранять свои формы и размеры), чем резиновый. Если же в опыте участвуют два стержня, изготовленные из одного материала, например, стали, но разной формы: один - массивный, другой - тонкий, то второй будет намного менее жесткий, чем первый. Оценить влияние материала оказалось возможным с введением понятий напряжений и деформаций. В этом случае закон Гука в определенных пределах формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению.

Математически закон Гука записывается в следующем виде:

(4.9)

Закон Гука является основным законом сопротивления материалов и лежит в основе расчета на прочность.

Коэффициент пропорциональности Е характеризует способность материала сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода (от латинского modus - мера), или модулем Юнга*, и определяется экспериментально.

Выясним физический смысл модуля предельной упругости. для этого формулу (4.9) запишем относительно величины Е.

Е=s\e, (4.10)

где s - нормальные напряжения [Па];

e - относительное удлинение (укорочение) [безразмерная величина].

При одном и том же напряжении относительное удлинение будет меньше у того материала, для которого Е будет больше. Таким образом, модуль продольной упругости характеризует сопротивляемость материала упругой деформации при растяжении и сжатии.

Дата добавления: 2014-01-06