Формула Эйлера для определения критической силы

Задача определения критической силы была впервые поставлена и решена математиком Л.Эйлером*, в дальнейшем она была обобщена на другие случаи концевых закреплений стержня.

Эта формула имеет вид:

, (8.3)

где Е – модуль упругости первого рода материала стержня;

I_min – минимальный главный центральный момент инерции поперечного сечения стержня;

l – длина стержня;

m - коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа закрепления его концов;

m l – приведенная длина стержня.

На рис. 8.2 показаны наиболее распространенные способы закрепления концов сжатого стержня (штриховыми линиями изображены примерные формы упругих линий стержней при нагрузках, больших критических):

1) оба конца стержня закреплены шарнирно - m = 1 (рис. 8.2,а);

2) один конец жестко защемлен, а другой свободен - m = 2 (рис. 8.2,б);

3) оба конца жестко защемлены, но могут сближаться - m = 0,5 (рис. 8.2,в); 4) один конец стержня закреплен жестко, а другой – шарнирно - m = 0,7 (рис. 8.2,г).

m = 0,7

m = 0,5

m = 2

m = 1

F

F

F

а)

б)

в)

г)

Рис. 8.2

F

Формула Эйлера справедлива лишь при условии, что потеря устойчивости происходит в пределах упругих деформаций стержня, т.е. в пределах действия закона Гука.

Если обе части формулы Эйлера (8.3) разделить на площадь поперечного сечения стержня А, то получим так называемое критическое напряжение s_кр, т.е. то напряжение, которое возникает в сечении стержня под действием критической силы F_kp. При этом критическое напряжение не должно превышать предела пропорциональности:

, (8.4)

но, (8.5)

где i_min – минимальный радиус инерции.

Момент инерции берется минимальный потому, что стержень стремится изогнуться в плоскости наименьшей жесткости.

Разделим числитель и знаменатель формулы (8.4) на минимальный момент инерции I_min, представленный формулой (8.5):

, (8.6)

где - безразмерная величина называемая гибкостью стержня.

Условие применимости формулы Эйлера удобно выразить через гибкость стержня. Выразим из неравенства (8.6) значение l:

. (8.7)

Правую часть этого неравенства обозначают l_пред и называют предельной гибкостью стержня из данного материала, т.е.

. (8.8)

Таким образом, получим окончательное условие применимости формулы Эйлера - l ³ l_пред. Формула Эйлера применима, когда гибкость стержня не меньше предельной гибкости.

Так, например, для стали Ст.3 (Е = 2*10⁵ Мпа; s_пц = 200 МПа):

,

т.е. формула Эйлера применима в этом случае при l ³ 100.

Аналогично можно вычислить предельную гибкость и для других материалов.

В конструкциях нередко встречаются стержни, у которых l < l_пред. Расчет таких стержней ведется по эмпирической формуле, выведенной профессором Ф.С.Ясинским* на основании обширного опытного материала:

, (8.9)

где a, b, c – коэффициенты, зависящие от свойств материала.

В таблице приведены значения а, b и c для некоторых материалов, а также значения гибкостей, в пределах которых применима формула (8.9).

Таблица 8.1

Материал	а,МПа	b, МПа	с, МПа	l0	lпр
Сталь (Ст.3)		1,14
Дюралюминий (Д16Т)		2,83
Чугун (СЧ15-32)			0,053
Сосна	29,3	0,194		-

При гибкости l < l₀ стержни можно рассчитывать на прочность без учета опасности потери устойчивости.

Из формул Эйлера и Ясинского следует, что значение критической силы возрастает с увеличением минимального момента инерции поперечного сечения стержня. Так как устойчивость стержня определяется значением минимального момента инерции его поперечного сечения, то, очевидно, рациональны сечения, у которых главные моменты инерции равны между собой. Стойка, имеющая такое сечение, обладает равноустойчивостью во всех направлениях. Из сечений такого типа следует выбирать такие, которые обладают наибольшим моментом инерции при наименьшей площади (затрате материала). Таким сечением является кольцевое сечение.

На рис. 8.3 представлена диаграмма зависимости критического напряжения в стержне от его гибкости. В зависимости от гибкости стержни условно делят на три категории. Стержни большой гибкости (l ³ l_пред) рассчитывают на устойчивость по формуле Эйлера; стержни средней гибкости (l₀ £l £l_пред) рассчитывают на устойчивость по формуле Ясинского; стержни малой гибкости (l<l₀) рассчитывают не на устойчивость, а на прочность.

РАЗДЕЛ 3

ДЕТАЛИ МАШИН

«Соединения деталей машин»

В процессе изготовления машины некоторые ее детали соединяют между собой, при этом образуются неразъемные или разъемные соединения.

Неразъемными называют соединения, которые невозможно разобрать без разрушения или повреждения деталей. К ним относятся заклепочные, сварные и клеевые соединения.

Разъемными называют соединения, которые можно разбирать и вновь собирать без повреждения деталей. К разъемным соединениям относятся резьбовые, шпоночные, зубчатые (шлицевые) и другие.

Дата добавления: 2014-01-06