Корреляционный анализ. Наилучшее приближение теоретической кривой к экспериментальным данным еще не значит, что реально существующая физическая зависимость соответствует именно этой

Наилучшее приближение теоретической кривой к экспериментальным данным еще не значит, что реально существующая физическая зависимость соответствует именно этой кривой.

Для оценки согласованности экспериментальных данных с теоретической зависимостью используют понятие корреляции. Если регрессия определяет эту согласованность по форме кривой, то корреляция показывает, насколько тесна связь между переменными. Вместе с тем корреляция между переменными означает лишь то, что их изменения взаимосвязаны, однако это еще не доказывает наличие связи между переменными.

Мерой корреляционной связи между переменными x и y служит коэффициент корреляции, представляющий собой отношение корреляционного момента m_xy (математического ожидания произведения отклонений x_i и y_i от их средних значений) к произведению средних квадратичных отклонений этих величин:

.

Если величины независимы, коэффициент корреляции равен нулю. При наличии функциональной зависимости r равен 1 или –1 (в зависимости от того, положительной или отрицательной является зависимость между этими величинами).

Чем больше теснота связи между случайными величинами, тем в большей степени модуль r приближается к единице. И наоборот, если связь слабая, модуль r приближается к нулю.

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной.

Для случая простой линейной регрессии (т.е. для случая, когда имеется одна зависимая и одна независимая переменная, связанные между собой линейно) коэффициент корреляции вычисляют по формуле

. (72)

Еще одним показателем качества подобранной модели традиционно является r², который часто именуют коэффициентом детерминации. Чем ближе значение r² кединице, тем лучше подобранная модель описывает данные эксперимента.

Пример 12. Определить коэффициент корреляции и коэффициент детерминации по данным примера 11.

Р е ш е н и е. Подставим данные таблицы 13 в формулу 72:

r² =(-0,994)² = 0,988

Таким образом, 98,8 % изменений y объясняются влиянием аргумента x. Следовательно, имеет место функциональная зависимость y от x.

Дата добавления: 2014-01-06