Понятие соответствия между двумя множествами

Лекция № 8

Полученное число 55 54 57 45 44 47 75 74 77

Вторая цифра 5 4 7 5 4 7 5 4 7

Первая цифра 5 4 7

(цифра десятков)

(цифра единиц)

Эта схема действительно похожа на дерево, правда, растет оно вниз и у него нет ствола. То, что дерево растет как бы «вверх ногами», удоб­но при построении схем такого вида. Знак * изображает корень дере­ва, ветвями которого являются различные варианты решения задачи. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать цифру десят­ков – для этого есть три варианта: 5, 4 или 7. Поэтому из * проведены три отрезка и на их концах поставлены цифры 5, 4 и 7. Затем надо вы­брать цифру единиц, а для этого также есть три варианта: 5, 4 или 7. Поэтому от цифр 5, 4 и 7 проведено по три отрезка, на концах кото­рых опять стоят цифры 5, 4 или 7. Чтобы прочитать полученные ва­рианты, надо пройти по всем ветвям построенного дерева сверху вниз.

Соответствия и отношения

Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но и главным образом связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями, функциями. Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениями их длин.

Конкретные зависимости, соответствия, отношения между объектами в математике изучались с момента ее возникновения. Но вопрос о том, что общее имеют самые разные соответствия, какова сущность любого соответствия, был поставлен в конце XIX – начале ХХ века. Ответ на него был найден в рамках теории множеств.

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике изучения этих взаимосвязей.

Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

I. Найти значение выражения   b₁) (17–1):4,   b₂) (12+18):(6–6),   b₃) 2^.7+6.

II. Найти площадь фигуры

F₁

F₂

F₃

III. Решить уравнение:   у₁) 2+ х = 6,   у₂) х– 7 = 4,   у₃) 2 х = 8.

В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором – выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь. В третьем ищем число, которое является решением уравнения.

Во всех случаях имеем два множества:

I. Множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел.

II. Множество из трех геометрических фигур и множество N.

III. Множество из трех уравнений и множество N.

Выполняя эти задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов.

N

Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, находившихся в заданном соответствии:

I. {(в₁,4), (в₃, 20)},

II. {(F₁,4), (F₂,10), (F₃,10)},

III. {(y₁,4), (y₂, 11), (y₃,4)}.

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары – это элементы декартового произведения, то приходим к определению понятия соответствия.

Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартового произведения этих множеств.

Соответствие обозначают буквами: P, S, T, R и др. Если S – соответствие между элементами множеств Х и У, то по определению SÌX´У.

Дата добавления: 2014-01-06