Независимость событий

Вероятность произведения событий.

Р(А×В) = Р(А)×Р(ВçА)=Р(В) ×Р(АçВ), (17)

Это правило обоб­щается на случай п событий:

P(A₁ • А₂•... • А_n) = Р(А₁) × Р(А₂çА₁) × Р(А₃çА₁ • А₂) •... • Р(А_n\А₁× А₂×… A_n-1). (18)

Так для 3-х событий A₁, А₂, А₃ получаем

P(A₁× А₂ × А₃) = Р((A₁× А₂)× А₃) = Р(А₁×А₂) × Р(А₃çА₁ • А₂)= Р(А₁) × Р(А₂çА₁) × Р(А₃çА₁ • А₂). (19)

Пример 16. В коробке находится 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наудачу последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-й шар будет белым, 2-й — синим, 3-й — черным?

Введем следующие события: A₁ — первым вытащили белый шар, А₂ — вторым — синий, А₃ — третьим — черный. Тогда интересую­щее нас событие А представится в виде А= A₁× А₂ × А₃. По прави­лу умножения вероятностей Р(А) = Р(А₁) × Р(А₂çА₁) × Р(А₃çА₁ • А₂). Но Р(А₁)=; Р(А₂çА₁)= , так как шаров осталось 8, а число благоприятных случаев для события А₂ равно 3; Р(А₃çА₁ • А₂) = , так как уже два шара (белый и синий) вытащены. Следовательно, P(A)=

ОПР. А В Р(А|В) = Р(А). (20)

Лемма 1.1 (о взаимной независимости событий). А В

Из равенства (17), с учетом равенства (20), следует

Р(В|А) = т.е.

Р(ВçА) = Р(В), (21)

Р(А×В) = Р(А)×Р(В). (22)

А и В и В, А и , и .

n

А₁, А₂, …,А_n

Р(А₁× А₂× … ×А_n) = Р(А₁) ×Р(А₂) •... • Р(А_n). (23)

Пример 17. Производится выбор (наудачу) флага из 4-х, имеющихся в наличии: красного, голубого, белого и трехцветного (красно-бел голубого). Исследовать на независимость события: К — выбранный флаг имеет красный цвет, Г — имеет голубой цвет; Б — имеет белый цвет.

Возможных исходов выбора 4; событию К благоприятствуют 2 исхода (красный цвет имеется у двух флагов). Поэтому Р(К)=. Аналогично находим, что Р(Г) = Р(Б) =. Событию К×Г — выбран флаг, имеющий 2 цвета (красный и голубой), — благоприятствует один исход. Поэтому, Р(К • Г) = . И так как Р(К • Г) === Р(К) • Р(Г), то события К и Г независимы. Аналогично убеждаемся в независимости: событий К и Б, Б и Г. Стало быть, события К, Б, Г попарно независимы. А так как Р(К × Г • Б) = ≠ Р(К) • Р(Г) • Р(Б) = , то события К, Г и Б не являются независимыми в совокупности.

Дата добавления: 2014-01-06