Математические модели проектируемых объектов в САПР

Классификация математических моделей.

Математическая модель (ММ) технического объекта есть совокупность матема­тических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т. п.) и отношений между ними, которая адекватно отображает свойства технического объекта, интересующие инженера, разрабатываю­щего этот объект. Выполнение проектных операций и процедур в САПР основано на оперировании ММ. С их помощью про­гнозируются характеристики и оцениваются возможности пред­ложенных вариантов схем и конструкций, проверяется их соот­ветствие предъявляемым требованиям, проводится оптимизация параметров, разрабатывается техническая документация и т. п.

В САПР для каждого иерархического уровня сформулирова­ны основные положения математического моделирования, вы­бран и развит соответствующий математический аппарат, полу­чены типовые ММ элементов проектируемых объектов, форма­лизованы методы получения и анализа математических моделей систем. Сложность задач проектирования и противоречивость требований высокой точности, полноты и малой трудоемкости анализа обусловливают целесообразность компромиссного удов­летворения этих требований с помощью соответствующего выбо­ра моделей. Это обстоятельство приводит к расширению множес­тва используемых моделей и развитию алгоритмов адаптивного моделирования.

Функциональные и структурные модели. В проектных процеду­рах, связанных с функциональным аспектом проектирования, как правило, используются ММ, отражающие закономерности процессов функционирования объектов. Такие модели называют функциональными. Типичная функциональная модель представляет собой систему уравнений, описывающих либо электричес­кие, тепловые, механические процессы, либо процессы преобра­зования информации.

В то же время в процедурах, относящихся, к конструкторско­му аспекту проектирования, преобладает использование матема­тических моделей, отражающих только структурные свойства объекта, например его геометрическую форму, размеры, взаим­ное расположение элементов в пространстве. Такие модели на­зывают структурными. Структурные модели чаще всего пред­ставляются в виде графов, матриц инциденций и смежности, списков и т. п.

Как правило, функциональные модели более сложные, пос­кольку в них отражаются также сведения о структуре объектов. Однако при решении многих задач конструирования использова­ние сложных функциональных моделей не оправдано, так как нужные результаты могут быть получены на основе более про­стых структурных моделей. Функциональные модели применяют преимущественно на завершающих этапах верификации описа­ний объектов, предварительно синтезированных с помощью структурных моделей.

Иерархия математических моделей в САПР.

Блочно-иерархический подход к проектированию радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) включает в качестве своей основы иерархию математичес­ких моделей. Деление моделей по иерархическим уровням (уров­ням абстрагирования) происходит по степени детализации опи­сываемых свойств и процессов, протекающих в объекте. При этом на каждом иерархическом уровне используют свои понятия «система» и «элементы». Так, система k- того уровня рассматрива­ется как элемент на соседнем более высоком (к—1)- м уровне абс­трагирования.

Представим структуру некоторого объекта множества эле­ментов (рис. 8.30) и связей между ними. Выделим в соответствии с блочно-иерархическим подходом в структуре объекта некото­рые подмножества элементов и назовем их блоками (на рисунке показаны штриховыми линиями). Пусть состояние каждой связи характеризуется одной фазовой переменной v_i z_j - или и_к. Здесь v_i - относится к внутренним связям между элементами данного бло­ка, z_j, и_к относятся к выходам и входам блока соответственно. Те­перь поясним важные для функциональных моделей понятия полной модели и макромоделей.

Рис. 8.30. Представление структуры объекта

Полная модель блока есть модель, составленная из моделей элементов с учетом межэлементных связей, т. е. модель, описы­вающая как состояние выходов, так и состояние каждого из элементов блока. Моделями элементов блока Аявляются уравнения, связывающие входные и выходные переменные:

f ₁(v ₁, и ₁) = 0;

f ₂(v ₂, и ₂) = 0;

f ₃(v ₂, и ₃, v _j) = 0; (8.1)

Полная модель блока есть система уравнений

F(v,u) = 0, Z=(V,U), (8.2)

где V, Z и U — векторы внутренних, выходных и входных фазовых переменных блока.

При большом количестве элементов размерность вектора V и порядок системы уравнений (8.2) становятся чрезмерно больши­ми и требуют упрощения.

При переходе к более высокому иерархическому уровню уп­рощения основаны на исключении из модели вектора внутрен­них переменных V. Полученная модель представляет собой сис­тему уравнений

(Z, U) = 0 (8.3)

существенно меньшей размерности, чем полная модель (8.2), и называется макромоделью. Следовательно, макромодель уже не описывает процессы внутри блока, а характеризует только процессы взаимодействия данного блока с другими в составе систе­мы блоков.

Модели (8.2) и (8.3) относятся друг к другу как полная модель и макромодель на n -м уровне иерархии. На более высоком (n —1)-м уровне блок А рассматривается как элемент и макромодель (8.3) становится моделью элемента А. Следовательно, модели (8.1) и (8.3) относятся друг к другу как модели элементов соседних ие­рархических уровней. Из моделей типа (8.3) может быть состав­лена полная модель системы на (n —1)-м уровне.

Формы представления моделей.

Для представления моделей ис­пользуют следующие основные формы:

— инвариантная форма — запись соотношений модели с по­мощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели;

— алгоритмическая форма — запись соотношений модели и вы­бранного численного метода решения в форме алгоритма;

— аналитическая форма — запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели; обычно модели в аналитической форме представляют со­бой явные выражения выходных параметров как функций внутренних и внешних параметров;

— схемная форма, называемая также графической формой, — представление модели на некотором графическом языке, например на языке графов, эквивалентных схем, диаграмм и т. п. Графические формы удобны для восприятия человеком. Использование таких форм возможно при наличии правил однозначного истолкования элементов чертежей и их перевода на язык инвариантных или алгоритмических форм.

Модели в алгоритмической и аналитической формах называ­ют соответственно алгоритмическими и аналитическими. Среди ал­горитмических моделей важный класс составляют имитационные модели, предназначенные для имитации физических или инфор­мационных процессов в объекте при задании различных зависи­мостей входных воздействий от времени. Собственно имитацию названных процессов называют имитационным моделированием. Результат имитационного моделирования — зависимости фазовых переменных в избранных элементах системы от времени. Примерами имитационных моделей являются модели электрон­ных схем в виде систем обыкновенных дифференциальных уравне­ний или модели систем массового обслуживания, предназначенные для имитации процессов прохождения заявок через систему.

Требования к математическим моделям. Основными требова­ниями, предъявляемыми к математическим моделям, являются адекватность, универсальность и экономичность.

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных пара­метров модели и объекта. Точность модели различна в разных условиях функциониро­вания объекта. Эти условия характеризуются внешними парамет­рами. Если задаться предельной допустимой погрешностью , то можно в пространстве внешних параметров выделить область, в которой выполняется условие:

Эту область называют областью адекватности (ОА) модели.

Определение областей адекватности для конкретных моде­лей — сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат. Эти затраты и трудности представления ОА быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Определение ОА — более трудная задача, чем, например, задача параметрической оптимизации, поэтому для моделей вновь про­ектируемых объектов ОА не рассчитывают.

Однако для моделей унифицированных элементов расчет об­ластей адекватности становится оправданным в связи с одно­кратностью определения ОА и многократностью их использова­ния при проектировании различных систем. Знание ОА позво­ляет правильно выбирать модели элементов из числа имеющихся и тем самым повышать достоверность результатов машинных расчетов.

Универсальность. При определении ОА необходимо выбрать совокупность внешних параметров и совокупность выходных па­раметров у_j, отражающих учитываемые в модели свойства. Типич­ными внешними параметрами при этом являются параметры на­грузки и внешних воздействий (электрических, механических, теп­ловых, радиационных и т. п.). Увеличение числа учитываемых внешних факторов расширяет применимость модели, но сущест­венно удорожает работу по определению ОА. Выбор совокупности выходных параметров также неоднозначен, однако для большинс­тва объектов число и перечень учитываемых свойств и соответству­ющих им выходных параметров сравнительно невелики, достаточ­но стабильны и составляют типовой набор выходных параметров.

Если адекватность характеризуется положением и размерами ОА, то универсальность модели определяется числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Экономичность. Экономичность модели характеризуется за­тратами вычислительных ресурсов для ее реализации, а именно затратами машинного времени Т_м и памяти П_м. Общие затраты Т_м и П_м на выполнение в САПР какой-либо проектной процеду­ры зависят как от особенностей выбранных моделей, так и от ме­тодов решения.

В большинстве случаев при реализации численного метода происходят многократные обращения к модели элемента, входя­щего в состав моделируемого объекта. Тогда удобно экономич­ность модели элемента характеризовать затратами машинного времени, получающимися при обращении к модели, а число об­ращений к модели должно учитываться при оценке экономич­ности метода решения.

Экономичность модели по затратам памяти оценивается объ­емом оперативной памяти, необходимой для реализации модели.

Требования широких областей адекватности, высокой степе­ни универсальности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой, являются противоречивыми. Наилучшее компромиссное удовлетворение этих требований оказывается неодинаковым в раз­личных применениях. Это обстоятельство обусловливает исполь­зование в САПР многих моделей для объектов одного и того же; типа — различного рода макромоделей, многоуровневых, сме-; шанных моделей и т. п.

Методы получения моделей элементов. Получение моделей элементов (моделирование элементов) в общем случае — процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся вы-1 бора вида математических соотношений, характера используе­мых переменных и параметров, принимает проектировщик. В то же время такие операции, как расчет численных значений пара­метров модели, определение областей адекватности и другие, ал­горитмизированы и решаются на ЭВМ. Поэтому моделирование элементов обычно выполняется специалистами конкретных тех­нических областей с помощью традиционных средств экспери­ментальных исследований и средств САПР.

Методы получения функциональных моделей элементов де­лят на теоретические и экспериментальные. Теоретические мето­ды основаны на изучении физических закономерностей протека­ющих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходи­мых выкладок и приведении результата к принятой форме пред­ставления модели. Экспериментальные методы основаны на ис­пользовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов.

Несмотря на эвристический характер многих операций моде­лирования, имеется ряд положений и приемов, общих для полу­чения моделей различных объектов. Достаточно общий характер имеют методика макромоделирования, математические методы планирования экспериментов, а также алгоритмы формализуе­мых операций расчета численных значений параметров и опреде­ления областей адекватности.

Дата добавления: 2014-01-06