Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод возможных направлений




Рассмотрим задачу выпуклого программирования

(13.1)

где допустимая область задается так

(13.2)

Поскольку функции , ,.., предполагаются выпуклыми, то в силу рассмотренных ранее свойств выпуклых функций задача (13.1)-(13.2) есть задача минимизации выпуклой функции на выпуклом множестве.

Введя в рассмотрение индексные множества

, ,

имеем

. (13.3)

Для сокращения записей обозначим

,

Тогда ЗВП запишется в виде

.

Идея метода возможных направлений (МВН) заключается в том, что в каждой очередной точке находится направление спуска такое, что перемещение точки по этому направлению на некоторое расстояние не приводит к нарушению ограничений задачи. Таким образом, МВН можно рассматривать как естественное распространение метода градиентного спуска на задачи минимизации с ограничениями. В отличие от других численных методов решения таких задач, метод возможных направлений обладает тем преимуществом, что для отыскания направления спуска достаточно решить задачу линейного программирования с небольшим числом ограничений.

Для описания метода возможных направлений введем ряд определений.

Определение 13.1. Направление, определяемое вектором , называется возможным направлением в точке , если достаточно малое перемещение из в направлении не выводит точку за пределы допустимой области, т.е., если существует такое число , что для всех .

Очевидно, если является внутренней точкой множества , то любое направление в этой точке является возможным.

Определение 13.2. Возможное направление, определяемое вектором , называется подходящим направлением в точке , если перемещение из точки по этому направлению осуществляется с уменьшением значения функции, т.е., если .

Очевиден геометрический смысл этого утверждения: угол между вектором, задающим подходящее направление в точке , и антиградиентом минимизируемой функции в данной точке острый.

Следствием введенных определений является утверждение: если в точке подходящих направлений нет, то функция достигает в этой точке своего минимума на множестве , т.е.

.

В самом деле. Пусть в точке нет ни одного подходящего направления, т.е. для любого вектора в точке выполняется неравенство . Тогда при перемещении из точки по любому из этих направлений функция не убывает

.

Следовательно, - точка локального минимума .




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 370; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.