Алгебраические критерии устойчивости

Акцентируем теперь внимание на то обстоятельство, что проверка условия устойчивости характеристического многочлена не требует вычисления всех его корней, а лишь выяснения того, расположены ли корни только в левой полуплоскости комплексной переменной P.

Нельзя ли установить этот факт, не находя корней?

Ответ на этот вопрос положительный. Алгебраическая проблема проверки устойчивости многочленов была впервые поставлена Максвеллом. Детальное и простое изложение этой проблемы содержится в книге «Устойчивые многочлены» Пестиков М.М.– М. Наука, 1981 -175 с.

Прежде всего, установим необходимое условие устойчивости.

Теорема. Если многочлен Q(P) с устойчив, то все его коэффициенты положительны a_n>0.

Доказательство теоремы

Используем разложение многочлена Q(P) на простые двучлены и трехчлены. Каждому вещественному корню соответствует двучлен , каждой паре комплексно сопряженных корней - трехчлен , если все , , то коэффициенты во всех двучленах и трехчленах положительны, следовательно, положительны и коэффициенты в многочлене Q(P), являющимся их произведением.

Пример 1 Многочлен , заведомо неустойчив, поскольку коэффициент при P₂ равен нулю.

Выполнение условия необходимости не гарантирует устойчивости многочлена при любом n, хотя оно достаточно при n=1, и n=2. При больших (n>2) приходится использовать более сложные процедуры. Кроме того, как известно из алгебры для уравнений 3 и 4 степени имеются общие формулы для нахождения корней, а для уравнений 5степени и выше, таких формул нет. Поэтому для систем выше 2 порядка особенно важны условия, которые позволяли бы судить об их устойчивости, не вычисляя корней характеристического уравнения. Такие условия называются критериями устойчивости.

Дата добавления: 2014-01-06