Предмет теории вероятностей и математической статистики

ВВЕДЕНИЕ

В окружающем нас мире все явления взаимосвязаны, мир живет по своим законам, но все же ничто не происходит без хотя бы слабого вмешательства случайности. Случай повсюду – в явлениях живой и неживой природы, в исследовательской, профессиональной, игровой и обыденной деятельности человека. Нам кажется, что случай – властелин успехов, неудач, событий. Но даже если властвует случайность в явлении отдельном, то в большой массе похожих явлений наблюдается тенденция к устойчивости, упорядоченности, закономерности. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Теория вероятностей – раздел математики, в котором изучаются случайные события и выявляются их закономерности при массовом повторении.

Многие явления, кажущиеся нам случайными, в массе своей обладают определенной закономерностью. Кто родится в каждой конкретной молодой семье предугадать заранее невозможно, но если собрать статистические данные по целой стране за длительный период, проанализировать их, то выяснится устойчивая закономерность: на каждую 1000 рождений приходится в среднем 515 мальчиков.

Для многих явлений при одних и тех же условиях опыта могут получаться разные результаты. Измеряя один и тот же предмет, взвешивая его на аналитических весах много раз, получают близкие, но все же различные результаты. Это объясняется тем, что результат каждого измерения содержит случайную погрешность. Предвидеть эту погрешность, а, следовательно, и результат каждого конкретного измерения, нельзя. Однако, если систематизировать результаты измерений, то окажется, что в их изменении есть закономерность – статистическая устойчивость. Изучение этой закономерности позволяет предвидеть средний результат серии измерений. Вспомните лабораторные работы по физике. Для получения достоверного результата один и тот же опыт нужно повторить несколько раз, потом обработать полученные данные, найти среднее значение исследуемой величины, оценить погрешности измерений.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяют предвидеть, как эти события будут протекать, как их прогнозировать и анализировать.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных областях науки и техники: психологии, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории ошибок наблюдений и во многих других теоретических и прикладных науках (теории надежности, теории массового обслуживания, теории связи и др.). Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, при приемочном контроле качества продукции и других целей.

Данные любых исследований: социологических опросов, психологических тестов, медицинских данных, технических оценок работы приборов – требуют обязательной обработки. И здесь на помощь приходит математическая статистика. Она позволяет не только оценить средние результаты, выявить определенные закономерности. Обработав собранные данные, исследователь выдвигает рад гипотез, предположений о том, что рассматриваемое явление можно описать той или иной вероятностной теоретической моделью (например, рост или вес новорожденных описывает кривая Гаусса). Далее, используя вероятностно-математические методы, исследователь определяет, какую из гипотез или моделей можно принять. Правомерен такой выбор или нет, покажет практика. Таков типичный путь математико-статистического исследования.

Математическая статистика, опираясь на вероятностные модели, в свою очередь влияет на развитие теории вероятностей. Окружающий нас мир многообразен, и задачи, возникающие при изучении тех или иных случайных явлений, требуют разработки новых вероятностных моделей. Таким образом, математическая статистика и теория вероятностей – две неразрывно связанные науки.

Зародилась теория вероятностей более 300 лет назад для оценки шансов на победу в азартных играх. Первые попытки создания теории азартных игр предприняли в XVI – XVII вв. французы Блез Паскаль, Пьер Ферма, голландец Христиан Гюйгенс. В переписке между ними, вызванной анализом задач, связанных с игрой в карты, кости, формировались основные понятия теории вероятностей.

Следующий этап развития науки связан с именем Якоба Бернулли. Доказанная им теорема «Закон больших чисел» была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

С середины XIX века теория вероятностей оформляется как стройная математическая наука. Этот период связан с именами П.Л.Чебышева, А.А.Маркова и А.М.Ляпунова.

Наука о случайных явлениях завоевывает все новые и новые области применения. Изучение многих наук невозможно без четких представлений о случайных явлениях, знания их закономерностей, к изучению которых мы и приступаем.

ГЛАВА I. Элементы комбинаторики

Г.В.Лейбниц

Комбинаторная математика занимается в основном задачами о существовании и подсчете различных комбинаций, которые можно составить из элементов заданного конечного множества. Эту область математики так назвал Готтфрид Вильгельм Лейбниц в 1666 году в своей диссертации об искусстве комбинаторики, в которой он решает основные комбинаторные задачи, приводящие к биномиальным коэффициентам и к факториалу. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке Паскаль, Ферма, Яков Бернулли и Эйлер, рассматривая азартные игры и всевозможные лотереи.

В связи с развитием вычислительной техники резко расширились возможности перебора, что обусловило новый подъем комбинаторной математики. Комбинаторные методы применяются сейчас в теории кодирования, планировании эксперимента, топологии, математической логике, теории игр, кристаллографии, биологии, статистической физике, экономике и т.д.

В нашем случае комбинаторика является основой для изучения теории вероятностей и математической статистики.

Дата добавления: 2014-01-06