КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Функция плотности вероятности и Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины
После внимательного изучения предыдущих двух параграфов мы пришли к выводу, что перечислить все значения непрерывной случайной величины невозможно, и вероятность каждого отдельного значения НСВ равно нулю. Значит, составить для НСВ закон распределения нельзя. Но как тогда охарактеризовать НСВ? Для любой случайной величины можно составить интегральную функцию распределения F (x), определяющую вероятность того, что случайная величина примет значения, меньшие x (идет «накопление» вероятности). Для дискретной случайной величины F (x) имела ступенчатый вид. Случайная величина Х является непрерывной, если ее интегральная функция распределения F (x) = P { X < x } непрерывна и дифференцируема, за исключением, быть может, конечного числа точек. Все свойства интегральной функции распределения для НСВ сохраняются, т.е.: 1., т.е. значения функции F(x) лежат в промежутке от 0 до 1. 2. 3. F(x) – неубывающая функция; 4. График F (x) для НСВ может быть представлен в виде:
Для характеристики НСВ нам потребуется еще одна функция. Дифференциальной функцией распределения f(х) называют производную от интегральной функции f ( x ) = F ´( x ). Вместо термина «дифференциальная функция» используют другое название – « функция плотности вероятности ». Функция плотности вероятности для НСВ является аналогом закона распределения для ДСВ. Именно она задаёт НСВ. Для того, чтобы это увидеть, выведем свойства функции плотности вероятности f (x). 1. Т.к. по свойству (3) функция F(x) – неубывающая (или возрастает, или постоянна), то ее производная f (x) ≥ 0. То же самое можно сказать и про вероятность: вероятность любого события р ≥ 0.
2. По свойству (2) функции F(x) выполняется равенство. В силу того, что f (x) = F ´(x), справедлива формула Ньютона-Лейбница: = F(b) - F(а), следовательно (знак «≤» в исходной формуле можно заменить на знак «<», т.к. вероятность того, что случайная величина примет значение, равное а, равна 0). Полученная формула очень важна для понимания смысла функции плотности вероятности. Она помогает рассмотреть геометрический смысл f(x).
3. Поскольку =1, а, то. Снова прослеживается аналогия с законом распределения ДСВ. Сумма вероятностей в нижней строке для закона распределения ДСВ всегда равна 1, в нашем же случае знак интеграла эквивалентен сумме, а f (x) эквивалентно вероятности. 4. Для нахождения F(x) через f (x), в силу того f (x) = F ´(x), справедлива формула: Выпишем рассмотренные выше свойства функции плотности вероятности f(x): 1. f (x) ≥ 0; 2.; 3.; 4. Для того, чтобы некоторая функция могла считаться функцией плотности вероятности, она должна удовлетворять свойствам (1) и (3).
Пример 24.1. Интегральная функция распределения задана выражением: F(х)=. а. найдите f (x), б. докажите корректность задания НСВ, в. вычислите Р(0,6 1) г. постройте графики F(х) и f (x), отметьте на графиках вероятность, найденную в пункте (в). Решение. а. Для нахождения f (x) воспользуемся формулой: f (x) = F ´(x), тогда f (x) = 0’ = 0 при х <0, f (x) =(х2)’ = 2 х при 0≤ х <1, f (x) = 1’ = 0 при х ≥1. Получили, что функцию f (x) можно представить в виде: . б. Проверим корректность задания НСВ. Очевидно, что f (x) ≥ 0; проверим выполнение условия. В силу свойств определенного интеграла, исходный интеграл можно представить как сумму трех интегралов:
f (x) задана корректно. в. Вычислим Р (0,6 1). Для этого воспользуемся свойствами интегральной функции F (x):, причём а = 0,2, b = 1. Р( 0,6 1) = F (1) - F (0,6) = 12 – 0,62 = 1 – 0,36 = 0,64. г. Построим графики F(х) и f (x):
Видим, что график интегральной функции распределения НСВ непрерывен, функция F(х) обладает всеми рассмотренными выше свойствами: она неубывающая, все ее значения лежат на отрезке [0;1], причем Вероятность того, что случайная величина принимает значения от 0,6 до 1, равна длине отрезка оси 0 у между F (0,6) и F (1). Функция плотности вероятности так же обладает всеми перечисленными выше свойствами. Ее значения всегда больше или равны нулю, площадь под кривой у = f (x) равна площади прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, следовательно, равна 1, что согласуется с доказанным нами в пункте (б) свойством:. Вероятность того, что случайная величина принимает значения от 0,6 до 1, равна площади фигуры S.
Пример 24.2. По известной функции плотности вероятности f (x) найдите интегральную функцию распределения F(х), если . Решение. Воспользуемся формулой: Поскольку функция у = f(х) состоит из трех частей, для каждой части будем применять данную формулу: 1) при х < -π/2 2) при -π/2 ≤ х <0 = sinx + 1 3) при х ≥ 0 = 1 Получили, что F(х) имеет вид: F(х)=, что согласуется с определением и свойствами F(х). Контрольные вопросы: 1. Какой функцией задаётся непрерывная случайная величина? Перечислите свойства этой функции. 2. Как проверить, что НСВ задана корректно функцией f (x)? 3. Можно ли составить интегральную функцию F(х) для НСВ? Перечислите её свойства. 4. Какой вид имеет график интегральной функции для НСВ 5. Какими формулами связаны интегральная функция и функция плотности вероятности для НСВ? 6. Решите задачу: Интегральная функция распределения задана выражением: F(х) =. Найдите Р( 3 3,5 ), f (x), докажите корректность задания НСВ, постройте график f(х) и F(х).
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1681; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |