Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Функция плотности вероятности и Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины




После внимательного изучения предыдущих двух параграфов мы пришли к выводу, что перечислить все значения непрерывной случайной величины невозможно, и вероятность каждого отдельного значения НСВ равно нулю. Значит, составить для НСВ закон распределения нельзя. Но как тогда охарактеризовать НСВ?

Для любой случайной величины можно составить интегральную функцию распределения F (x), определяющую вероятность того, что случайная величина примет значения, меньшие x (идет «накопление» вероятности). Для дискретной случайной величины F (x) имела ступенчатый вид.

Случайная величина Х является непрерывной, если ее интегральная функция распределения F (x) = P { X < x } непрерывна и дифференцируема, за исключением, быть может, конечного числа точек.

Все свойства интегральной функции распределения для НСВ сохраняются, т.е.:

1., т.е. значения функции F(x) лежат в промежутке от 0 до 1.

2.

3. F(x) – неубывающая функция;

4.

График F (x) для НСВ может быть представлен в виде:

у=F(х)
х
 
 

Для характеристики НСВ нам потребуется еще одна функция.

Дифференциальной функцией распределения f(х) называют производную от интегральной функции

f ( x ) = F ´( x ).

Вместо термина «дифференциальная функция» используют другое название – « функция плотности вероятности ».

Функция плотности вероятности для НСВ является аналогом закона распределения для ДСВ. Именно она задаёт НСВ. Для того, чтобы это увидеть, выведем свойства функции плотности вероятности f (x).

1. Т.к. по свойству (3) функция F(x) – неубывающая (или возрастает, или постоянна), то ее производная f (x) ≥ 0. То же самое можно сказать и про вероятность: вероятность любого события р ≥ 0.

2. По свойству (2) функции F(x) выполняется равенство. В силу того, что f (x) = F ´(x), справедлива формула Ньютона-Лейбница: = F(b) - F(а), следовательно

(знак «≤» в исходной формуле можно заменить на знак «<», т.к. вероятность того, что случайная величина примет значение, равное а, равна 0).

Полученная формула очень важна для понимания смысла функции плотности вероятности. Она помогает рассмотреть геометрический смысл f(x).

S
у=f(х)
х
 
а
b
Поскольку геометрический смысл определенного интеграла, где f (x) ≥ 0, заключается в том, что значение интеграла равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (x), прямыми х=а и х=b, отрезком [ а; b ] оси 0 х, то и равна площади S соответствующей трапеции.

3. Поскольку =1, а, то.

Снова прослеживается аналогия с законом распределения ДСВ. Сумма вероятностей в нижней строке для закона распределения ДСВ всегда равна 1, в нашем же случае знак интеграла эквивалентен сумме, а f (x) эквивалентно вероятности.

4. Для нахождения F(x) через f (x), в силу того f (x) = F ´(x), справедлива формула:

Выпишем рассмотренные выше свойства функции плотности вероятности f(x):

1. f (x) ≥ 0;

2.;

3.;

4.

Для того, чтобы некоторая функция могла считаться функцией плотности вероятности, она должна удовлетворять свойствам (1) и (3).

 

Пример 24.1. Интегральная функция распределения задана выражением:

F(х)=.

а. найдите f (x),

б. докажите корректность задания НСВ,

в. вычислите Р(0,6 1)

г. постройте графики F(х) и f (x), отметьте на графиках вероятность, найденную в пункте (в).

Решение.

а. Для нахождения f (x) воспользуемся формулой: f (x) = F ´(x), тогда

f (x) = 0’ = 0 при х <0,

f (x) =(х2)’ = 2 х при 0≤ х <1,

f (x) = 1’ = 0 при х ≥1.

Получили, что функцию f (x) можно представить в виде:

.

б. Проверим корректность задания НСВ. Очевидно, что f (x) ≥ 0; проверим выполнение условия. В силу свойств определенного интеграла, исходный интеграл можно представить как сумму трех интегралов:

f (x) задана корректно.

в. Вычислим Р (0,6 1). Для этого воспользуемся свойствами интегральной функции F (x):, причём а = 0,2, b = 1.

Р( 0,6 1) = F (1) - F (0,6) = 12 – 0,62 = 1 – 0,36 = 0,64.

г. Построим графики F(х) и f (x):

S
2
1
0,6
у=f(х)
х
 
S= P (0,6< x <1)
P (0,6< x <1)
0,6
F(0,6)
 
у=F(х)
х
 
 
F(1)

Видим, что график интегральной функции распределения НСВ непрерывен, функция F(х) обладает всеми рассмотренными выше свойствами: она неубывающая, все ее значения лежат на отрезке [0;1], причем Вероятность того, что случайная величина принимает значения от 0,6 до 1, равна длине отрезка оси 0 у между F (0,6) и F (1).

Функция плотности вероятности так же обладает всеми перечисленными выше свойствами. Ее значения всегда больше или равны нулю, площадь под кривой у = f (x) равна площади прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, следовательно, равна 1, что согласуется с доказанным нами в пункте (б) свойством:. Вероятность того, что случайная величина принимает значения от 0,6 до 1, равна площади фигуры S.

 

Пример 24.2. По известной функции плотности вероятности f (x) найдите интегральную функцию распределения F(х), если

.

Решение.

Воспользуемся формулой:

Поскольку функция у = f(х) состоит из трех частей, для каждой части будем применять данную формулу:

1) при х < -π/2

2) при -π/2 ≤ х <0

= sinx + 1

3) при х ≥ 0

= 1

Получили, что F(х) имеет вид:

F(х)=, что согласуется с определением и свойствами F(х).

Контрольные вопросы:

1. Какой функцией задаётся непрерывная случайная величина? Перечислите свойства этой функции.

2. Как проверить, что НСВ задана корректно функцией f (x)?

3. Можно ли составить интегральную функцию F(х) для НСВ? Перечислите её свойства.

4. Какой вид имеет график интегральной функции для НСВ

5. Какими формулами связаны интегральная функция и функция плотности вероятности для НСВ?

6. Решите задачу: Интегральная функция распределения задана выражением:

F(х) =. Найдите Р( 3 3,5 ), f (x), докажите корректность задания НСВ, постройте график f(х) и F(х).

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1681; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.024 сек.