Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии (неизвестном среднеквадратическом отклонении)

А

Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии (известном среднеквадратическом отклонении).

ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

В предыдущем параграфе мы оценивали неизвестные параметры М(Х) и D(Х) одним числом и s², они являлись точечными оценками неизвестных М(Х) и D(Х).

Если же число наблюдений мало, то и М(Х) могут значительно отличаться, тогда встает вопрос о приближении числовых характеристик не одним числом, а целым интервалом значений (х₁; х₂), которому обязательно принадлежит искомое математическое ожидание.

М(Х)

х₁ х₂ х

Интервальной называют такую оценку параметра, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Например, если при измерении длины стола получено 122 см с точностью 2 см, тогда точное значение длины стола принадлежит промежутку [120; 124] см.

Интервал (х₁; х₂) называют доверительным интервалом с доверительной вероятностью (надежностью) α, если вероятность того, что параметр х принадлежит интервалу (х₁; х₂) больше или равно α, т.е. Р(х (х₁; х₂)).

На практике перед исследователем стоит задача: по заданной доверительной вероятности (надежности) α = 0,95; 0,99; 0,999 найти такой интервал (х₁; х₂), в который исследуемая величина х входит с этой вероятностью.

Поскольку в окружающем мире мы чаще всего имеем дело с нормально распределенными случайными величинами, рассмотрим формулы для оценки математического ожидания а случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, при известной и неизвестной дисперсии.

Пусть – выборочное среднее, рассчитанное по данным, полученным в ходе эксперимента, тогда искомое значение математического ожидания а с доверительной вероятностью α будет принадлежать промежутку (- δ; + δ):

- δ + δ х

δ – точность оценки, находится по формуле:, где

п – объем выборки,

σ – среднее квадратичное отклонение (задано в условии задачи),

t – аргумент функции Лапласа, при котором, находится по таблице (приложение 2).

Алгоритм поиска доверительного интервала при заданных значениях, σ, надежности α можно представить в виде схемы:

^{Прилож.2} t ()

Рассмотримпринцип нахождения доверительного интервала на примере:

Пример 33.1. При контрольном испытании 100 батареек был определен средний срок службы батареек при максимальной нагрузке = 20 часов. Считая, что срок службы батареек распределен нормально с σ = 5 часов, найдите доверительный интервал для оценки с надежностью 0,9 неизвестного математического ожидания а.

Решение. Требуется найти доверительный интервал.

Поскольку надежность α = 0,9, то = 0,45.

Найдем t из соотношения Ф(t) = 0,45. По таблице приложения 2 находим t = 1,65.

По формуле, где t = 1,65, σ = 5 часов, п = 100 (число испытаний – испытывалось 100 батареек), найдем δ: (часов).

Получаем доверительный интервал;

20 – 0,825 < a < 20 + 0,825;

19,175 < a < 20,825.

Ответ: с надежностью 0,9 неизвестное математическое ожидание а

принадлежит интервалу (19,175; 20,825).

Если среднее квадратичное отклонение σ неизвестно, то для оценки
математического ожидания a также служит доверительный интервал (- δ; + δ), но δ рассчитывается по формуле:, где

s – квадратный корень из исправленной выборочной дисперсии s² (исправленное среднее квадратичное отклонение),

t _α – коэффициент, находится по таблице распределения Стьюдента (приложение 3),

п – объем выборки.

Для нахождения t _α необходимо знать два параметра: k и α, k – число степеней свободы, k = п – 1, α - доверительная вероятность или надежность.

Алгоритм поиска доверительного интервала при заданных значениях, s, надежности α можно представить в виде схемы:

Прилож.3 t _α

Пример 33.2. На контрольных испытаниях 16 ламп были определены средняя продолжительность работы лампы = 1000 часов и исправленное среднее квадратичное отклонение s = 20 ч. Считая, что срок службы каждой лампы является нормально распределенной случайной величиной, определите с надежностью 0,9 доверительный интервал для математического ожидания а.

Решение. Требуется найти доверительный интервал.

Объем выборки п = 16 (исследуем 16 ламп). Поскольку надежность α = 0,9, п = 16, по таблице распределения Стьюдента из приложения 3 найдем t _α: t _α = 1,75.

По формуле, где t _α = 1,75, s = 20 часов, п = 16 вычислим δ: (часов).

Получаем доверительный интервал:

1000 – 8,75 < a < 1000 + 8,75

991,25 < a < 1008,75.

Ответ: с надежностью 0,9 неизвестное математическое ожидание а

принадлежит интервалу (991,25; 1008,75).

Пример 33.3. Результаты исследования длительности оборота (в днях) оборотных средств торговых 25 фирм города Ярославля представлены в группированном виде:

х i	25 – 35	35 – 45	45 – 55	55 –65	65 – 75	75 – 85	∑
m i

Постройте доверительный интервал с надежностью 0,99 для средней длительности оборотных средств торговых фирм города.

Решение. Найдем выборочную среднюю длительности оборотных средств по формуле:

Найдем дисперсию выборки::

;

Тогда 3316 – 56,4² = 135,04.

Поскольку исправленная выборочная дисперсия s² =, то

s² = s =.

Теперь будем искать доверительный интервал.

Объем выборки п = 25. Поскольку надежность α = 0,99, п = 25, по таблице распределения Стьюдента из приложения 3 найдем t _α: t _α = 2,79.

По формуле, где t _α = 2,79, s = 11,9, п = 25 вычислим δ:

.

Получаем доверительный интервал:

56,4 – 6,64 < a < 56,4 + 6,64

49,76 < a < 63,04.

Ответ: с надежностью 0,99 неизвестное математическое ожидание а (длительности оборота денежных средств) принадлежит интервалу (49,76; 63,04) дней.

Контрольные вопросы:

1. Что называют интервальной оценкой проведённых исследований или измерений?

2. Дайте определение доверительного интервала с доверительной вероятностью (надежностью) α для оценки математического ожидания.

3. Приведите алгоритм поиска доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределенияпри заданных значениях, σ и надежности α.

4. Приведите алгоритм поиска доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределенияпри заданных значениях, s и надежности α.

5. Решите задачу: По результатам точного взвешивания 25 пакетов молока, выпущенных заводом, найдено исправленное среднее квадратичное отклонение S = 50 мл, средний объем продукции 0,998 л. Предполагая нормальное распределение результатов измерения, найдите доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,95.

Дата добавления: 2014-01-06