Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности

Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения

Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения по формуле

,

что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины .

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник ABCD равна

Обозначим для краткости левую часть равенства через и применим к правой части теорему Лагранжа ()

где

Отсюда

или (*)

Приняв, что равна площади прямоугольника , заключаем, что

есть отношение вероятности попадания случайной точки в прямоугольник к площади этого прямоугольника.

Перейдя в равенстве (*) к пределу при , когда

, получим .

Следовательно, функцию можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (со сторонами и ) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю (плотность вероятности в точке).

Дата добавления: 2014-01-06