Связанные с телом оси, при вращении относительно которых динамические реакции опор равны статическим, называются свободными осями

Теоретическое исследование показывает, что в любом теле произвольной формы существуют три взаимно перпенди­кулярные оси, проходящие через центр масс тела, кото­рые могут служить свободными осями вращения. Их на­зывают главными осями инерции.

Для тел правильной формы эти оси находятся легко. Для прямоугольного параллелепипеда (папиросной коробки) глав­ные оси инерции — это оси, проходящие через центры противопо­ложных граней (рис. 3). Для однородных тел вращения главные оси инерции представляют собой оси геометрической симметрии. Для эллипсоида вращения свободными осями будут большая и малая оси и ось, перпендикулярная к ним..

рис. № 3 Главные оси вращения параллелепипеда.

Тело, вращающееся вокруг свободной оси, в отсутствие момента внешних сил относительно центра тяжести должно вращаться не­ограниченно долго, сохраняя неизменным положение оси. Однако создать вращение точно вокруг главной оси практически не удается, так как центр масс оказывается, хотя и ненамного, смещенным от­носительно оси вращения. При больших скоростях вращения даже небольшое смещение может создать значительные динамические нагрузки.

Поэтому существенным является вопрос об устойчивости вра­щения вокруг главных осей, т. е. вопрос о том, будет ли возникшее малое уклонение от вращения вокруг свободной оси в дальнейшем возрастать или тело будет стремиться под действием возникших динамических реакций вер­нуться к вращению вокруг главной оси. Устойчивость того или другого конкретного вида движения — сложнейший вопрос меха­ники, для поисков ответа на который пока еще не существует единого метода.

В теоретической механике показано, что в отсутствие внешних сил устойчиво вращение относительно главных осей, соответствующих наибольшему и на­именьшему моментам инерции тела. Вращение вокруг главной оси, соответ­ствующей среднему моменту инерции, неустойчиво.

Устойчивость вращения вокруг главных осей инерции можно продемонстрировать, вращая различные тела с помощью центро­бежной машины (рис. 104).

рис. № 4 Вращение вокруг главных осей инерции.

Подвешенная за один из концов палочка при малых скоро­стях вращается в вертикальном положении (рис.4, г), т. е. вокруг оси с наименьшим моментом инерции. При возрастании скорости палочка вопреки действию силы тяжести рас­полагается горизонтально и устойчиво вра­щается вокруг оси с наибольшим моментом инерции.

Вообще, практически оказывается, что вращение устойчиво вокруг оси с наи­большим моментом инерции. Это связано с влиянием внешних сил, в частности сил трения, которые создают момент относительно центра тяжести. Действие этого момента в случае вращения вокруг оси с наибольшим моментом инерции оказывается меньшим.

Ось с наименьшим моментом инерции интересна тем, что относительно нее легче всего создать вращение.

Падающая кошка, например, как известно, из любого положе­ния встает на лапки. Для этого кошка в воздухе вращает хвостом и лапками так, чтобы в силу закона сохранения момента количества движения повернуться вокруг го­ризонтальной оси, относительно которой у кошки наименьший мо­мент инерции.

При изучении вращения твердого тела, имею­щего закрепленную точку, следует различать не совпадающие друг с другом: 1) ось вращения тела; 2) мгновенную ось вращения; 3) на­правление, или ось момента количе­ства движения. Даже рассматривае­мый частный случай движения тела, имеющего неподвижную точку, до­вольно сложен. Мы ограничимся при­ближенным изучением одного, еще более частного, но имеющего широкое научное и техническое применение случая. Рассмотрим приближенную теорию гироскопа.

Гироскопом называют мас­сивное однородное тело враще­ния, быстро вращающееся отно­сительно одной из главных осей инерции.

Из определения следует, что гиро­скоп обладает осью симметрии (пос­кольку он является телом вращения), которая служит одной из главных осей инерции (поскольку материал ги­роскопа однороден). Обычно за ось вращения гироскопа выбирается главная ось инерции, которой соответствует максимальный момент инерции. Эту ось будем назы­вать осью гироскопа.

Допустим, ось гироскопа при его вращении остается неподвижной. Следовательно, вектор мгновенной угловой скорости лежит на этой оси. Вектор момента количества движения также направлен вдоль оси гироскопа. Таким образом, ось гироскопа, мгно­венная ось вращения и ось момента количества движения в этом случае совпадают. В реальных условиях ось гироскопа лишь при­ближенно может считаться главной осью инерции, так как центр масс гироскопа всегда хоть немного смещен относительно оси сим­метрии. Кроме того, как мы увидим ниже, ось не может оставаться неподвижной, не будучи закрепленной в подшипниках, так как мы не в силах полностью избавиться от трения.

Положим, гироскоп имеет очень большую угловую скорость вращения вокруг собственной оси ОО¹ и в то же время ось медленно вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной вер­тикальной оси (рис.5).

Направление мгновенной оси враще­ния определяется вектором мгновенной угловой скорости результирующего вращения . Как видно из чертежа (вследствие того, что), мгновенная ось вращения лежит вблизи оси ги­роскопа.

Построив вектор момента количества движения ,

где и — моменты инерции гироскопа относительно соответствующих осей, можно убедиться, что и ось момента коли­чества движения лежит вблизи оси гироскопа (рис.5) (При построении вектора надо иметь в ви­ду, что хотяи имеют разную величину, одна­ко порядок их величины одинаков.)

рис.№5. Вращение тела вокруг оси, закрепленной в одной точке, когда скорость вращения тела много больше скорости обращения.

Таким образом, при вращении реального гиро­скопа ось его, мгновенная ось вращения и ось мо­мента количества движения хотя и не совпадают, но расхождение их направлений незначительно.

В основу приближенной теории гироскопа, ко­торую мы рассмотрим ниже, кладется допущение, что все три указанные оси совпадают и неизмен­но связаны друг с другом. Другими словами, если мы видим, что ось гироскопа как-то изменяет свое положение в пространстве, мы считаем себя вправе сделать заключение, что также меняется в пространстве нап­равление мгновенной угловой скорости вращения гироскопа и оси его момента количества движения.

И обратно, установив, что в силу каких-то причин (о них будет сказано ниже) вектор момента количества движения должен изме­нить свое положение, мы будем считать, что вместе с ним изменит свое положение и ось гироскопа. Уравнение , для случая вращения тела вокруг неподвижной оси, справедливо и для движения гироскопа. Доказательство этого утверждения можно найти в курсе теорети­ческой механики.

Из равенства следует, что вектор момента количества движения изменяется только при действии на гироскоп момента внешних, сил. И так как мы допускаем, что ось гироскопа и ось момента количества движения жестко связаны, мы можем утвер­ждать, что и перемещение оси гироскопа происходит пока действует момент внешних сил.

Чтобы сделать вра­щение гироскопа свободным от влияния внешних сил, необходимо свести к минимуму силы трения, действующие на гироскоп, и устранить действие силы тяжести. Уменьшение силы трения дос­тигается особой конструкцией и обработкой оперных подшипников, в которые помещается ось гироскопа. Для устранения действия силы тяжести гироскоп заставляют вращаться вокруг оси, прохо­дящей через центр масс. Тогда результирующая силы тяжести все время лежит на оси вращения, и момент ее равен нулю.

Свободный гироскоп имеет форму «колокольчика» с утя­желенным краем (рис. 6).

рис.№6 Гироскоп, имеющий форму «колокольчика»

Центр тяжести такого гироскопа на­ходится внутри «колокольчика», и с ним совмещается конец оси 00. В технике чаще всего при создании свободного гироскопа используется карданов подвес (рис.№7)

рис.№7 Гироскоп на кардановом подвесе.

Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Для описания поступательного движения его центра масс и вращения тела вокруг трех осей, проходящих через центр масс, мы можем составить шесть уравнений. Три из них, полученные на основе закона движения центра масс твердого тела:

связывают координаты x, у, z центра масс тела с составляющими ре­зультирующей внешних сил по осям х, у, z.

Другие три уравнения, полученные из основного закона дина­мики вращающегося твердого тела:

связывают углы поворота тела вокруг осей x, у, z с моментами внеш­них сил относительно тех же осей.

Для того чтобы тело находилось в равновесии, т. е. не переме­щалось вдоль осей и не вращалось вокруг них, необходимо выпол­нение следующих шести условий:

Для равновесия твердого тела, находящегося под дей­ствием произвольной системы сил, необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на оси координат и сумма мо­ментов этих сил относительно осей координат были равны нулю.

Если в данный момент тело находится в равновесии, то это не служит гарантией того, что оно останется в таком состоянии как угодно долго. В реальных условиях на всякое тело действуют слу­чайные толчки, устранить которые принципиально невозможно. Чтобы выяснить, могут ли эти толчки вывести тело из состояния рав­новесия или нет, надо исследовать, как изменяется результирующая сил, действующих на тело, при малом его отклонении от положения равновесия.

Положим, тело (шарик) находится в покое на дне гладкой ямы (рис. 7), в нижней точке которой на него действуют равные и противоположно направленные силы mg и R (их результирующая равна нулю). Отклоним шарик от положения равновесия. Теперь на него действует результирующая F сил mg и , уже не равная нулю. Она направлена к положению равновесия, куда и возвратит шарик, когда перестанет действовать отклоняющий фактор. Если при малом от­клонении тела от положения равновесия результирующая внешних сил не вызывает увеличения начального отклонения, то тело на­ходится в устойчивом равновесии.

Положим, шарик находится в равновесии на вершине" гладкого купола (рис. 8). При этом силы, mg и R опять уравновешивают друг друга, и их результирующая равна нулю. При малейшем от­клонении шарика от положения равновесия возникает результиру­ющая F, отличная от нуля и удаляющая шарик от положения равновесия.

Если результирующая сила, возникающая при отклонении тела от положения равновесия, увеличивает начальное отклонение, рав­новесие тела называется неустойчивым.

И наконец, если при смещении тела от положения равновесия результирующая внешних сил остается равной нулю, равновесие называется безразличным. В безразличном равновесии находится, например, покоящийся на гладкой горизонтальной плоскости ша­рик.

рис.№7 Устойчивое равновесие. Рис.№8 Неустойчивое равновесие.

Состояние равновесия системы тел, на которую действуют внеш­ние консервативные силы, устойчиво только в том случае, если ему соответствует минимум потенциальной энергии.

Допустим, что система, находящаяся под действием консерва­тивных сил в состоянии равновесия, обладает минимумом потен­циальной энергии. Значит, при любом отклонении от этого поло­жения ее потенциальная энергия возрастает. Но в соответствии с законом сохранения энергии полная энергия консервативной сис­темы, равная сумме кинетической Е_k и потенциальной U энергии, остается постоянной:

U=const.

Следовательно, если в начальный момент времени все тела системы находились в покое, то движение может возникнуть лишь как ре­зультат перехода части потенциальной энергии в кинетическую {так как всегда >0). Если же в начальный момент потенциальная энергия минимальна, то движение возникнуть не может и система находится в состоянии устойчивого равновесия.

При безразличном равновесии потенциальная энергия одина­кова для близких положений тел системы.

В поле силы тяжести тело обладает минимумом потенциальной энергии, когда его центр тяжести занимает наинизшее положение. Таким образом, состояние устойчивого равновесия тела в поле силы тяжести соответствует наинизшему положению его центра тяжести.

Лекция 12. Закон тяготения Ньютона, постоянная тяготения и ее измерение. Гравитационная и инертная масса тела. Понятие о поле тяготения. Гравитационное поле. Однородное и центральное поле. Напряженность и потенциал поля тяготения.

Дата добавления: 2014-01-06