Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция 3. Элементы динамики материальной точки и твердого тела

Читайте также:
  1. Def 28. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом.
  2. I. Основные структурные элементы формирования личности как исходная позиция учебного плана.
  3. II. Три точки зрения дизайнера на вещь и методы их реализации
  4. SIMULINK ЛЕКЦИЯ 1
  5. Анализ выполнения плана и динамики объема перевозок
  6. Анализ выполнения плана и динамики прибыли предприятия
  7. Анализ выполнения плана, состава, структуры и динамики розничного товарооборота
  8. Анализ динамики и выполнения плана производства и реализации продукции
  9. Анализ наличия, состава и динамики источников формирования капитала предприятия
  10. Анализ рядов динамики
  11. Анализ состава и динамики балансовой прибыли
  12. Анализ состава и динамики долгосрочных вложений



Основные понятия и определения. Основная задача динамики. Консервативные и неконсервативные силы. Масса и импульс. Эквивалентность инертной и гравитационной масс. Первый закон Ньютона. Понятие инерциальной и неинерциальной систем отсчета. Уравнение движения. Второй закон Ньютона. Границы применимости классического способа описания движений. Третий закон Ньютона. Современная трактовка законов Ньютона. Описание движения в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции. Элементы динамики материальной точки и твердого тела, совершающих вращательное движение относительно неподвижной оси вращения. Основные понятия и определения вращательного движения материальной точки и твердого тела: момент силы, момент импульса, момент инерции. Теорема Штейнера. Основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки и твердого тела.


3.1. Основная задача динамики. Основные понятия и
определения. Классификация сил. Масса и импульс.
Эквивалентность инертной и гравитационной масс. Законы Ньютона. Понятие инерциальной и неинерциальной
систем отсчета

Известно, что динамика изучает движение тел и причины (силы), которые обусловливают тот или иной характер движения.

Динамика поступательного движения основана на трех законах Ньютона. Хотя первый закон Ньютона – это установленный еще Галилеем принцип инерции: «Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока на него не действуют другие тела или равнодействующая всех приложенных сил равна нулю».

Конечно, поставить опыт в обычных условиях, который в чистом виде подтвердил этот закон, просто нельзя из-за присутствующих при любом движении сил трения. Поэтому нужно иметь богатое воображение, чтобы в эпоху средневековья сформулировать принцип инерции.

Второй и третий законы полностью принадлежат Ньютону.

Механика, основывающаяся на законах Ньютона, получила название классической или ньютоновской механики. Развитие науки показало ограниченную применимость классической механики - механики больших масс (по сравнению с массами атомов) и малых скоростей (по сравнению со скоростью распространения света в вакууме). Все законы Ньютона являются результатом обобщения им опытных данных.

Первый закон Ньютон сформулировал так: "Всякое тело продолжается удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние".

Покой при этом рассматривается как частный случай равномерного прямолинейного движения со скоростью v = 0.

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инерцией, а движение тела в этом случае - движением по инерции. Движение по инерции - научная абстракция, так как во всех случаях в действительности покоя и равномерного прямолинейного движения тел не существует. Всегда приходится иметь дело с телами, воздействия на которые уравновешивают друг друга.



Из первого закона Ньютона следует, что только воздействие одних тел на другие способно изменить их движение. Изменение состояния движения означает, что тело приобретает ускорение. Воздействие одних тел на другие характеризуется физической величиной, называемой силой F.

В общем случае сила определяется численным значением, направлением в пространстве и точкой приложения.

Сложение нескольких сил производится геометрически (по правилу параллелограмма, если силы направлены под углом друг к другу):

. (3.1)

Все силы в механике можно разделить на:

а) фундаментальные, возникающие в отсутствие непосредственного контакта, которые обусловлены наличием полей у взаимодействующих тел (силы тяготения; силы электромагнитного взаимодействия и т.д.);

б) силы инерции, возникающие в неинерциальных системах отсчета;

в) молекулярные силы, силы взаимодействия молекул и атомов;

г) возникающие только при непосредственном взаимодействии тел (силы трения, упругие силы и т.д.);

д) консервативные и неконсервативные.

Фундаментальные силыпроявляются при помощи наиболее простых полей: гравитационного и электрического. К фундаментальным силам относится сила взаимодействия двух точечных электрических зарядов (кулоновская), а также силы тяготения двух масс (гравитационные). Эти силы убывают по модулю с расстоянием: F~1/r2 , а линия действия этих сил проходит через взаимодействующие точечные тела. Силовые и энергетические параметры фундаментальных полей подчиняются принципу суперпозиции. Например, вектор напряженности электростатического поля, созданного некоторым числом точечных электрических зарядов, равен векторной сумме напряженностей полей, созданных отдельными зарядами:

. (3.2)

С электричеством тесно связана сила другого рода, называемая магнитной; ее также можно анализировать через понятие поля.

В случае сил взаимного притяжения тел можно сказать, что любая масса создает поле с напряженностью во всем окружающем пространстве и сила, притягивающая другую массу , равна

. (3.3)

По аналогии с электричеством можно записать

и . (3.4)

Однако в теории тяготения Эйнштейна доказывается, что в последнем случае принцип суперпозиции в такой простой форме выполняется лишь приближенно.

В начале 20 века физики пришли к выводу о существовании уникального типа сил – ядерных сил. Между нуклонами ядра, находящимися на очень малых расстояниях друг от друга, действуют силы притяжения, которые резко убывают с расстоянием (и потому получили название "короткодействующих"). Эти силы проявляются, не зависимо от того, имеется ли у нуклонов электрический заряд. Существует предположение, что ядерные силы проявляются через специфические ядерные поля, но законы Ньютона здесь не применимы. Для описания поведения нуклонов, их энергетики служит квантовая механика.

Силы инерции (псевдосилы)среди известных в физике сил занимают особое место. Силы инерции проявляются в неинерциальных системах отсчета, т.е. в системах отсчета, движущихся с ускорением по отношению к простейшей инерциальной системе. Хорошим примером является система отсчета, связанная с вагоном движущегося поезда. В момент резкого замедления (включили стоп-кран) различные предметы без видимой причины приходят в движение. В такой системе законы Ньютона в обычной их форме не выполняются. Ускоренное движение предметов вызвано действием сил инерции. Другим примером силы инерции (псевдосилы – как бы силы) является хорошо известная центробежная сила. Такого рода силы мы рассмотрим в дальнейшем более подробно.

Молекулярные силы (силы Ван-дер-Ваальса) – силы, действующие между атомами или молекулами. Из-за малости размеров атомов и расстояний, на которые они сближаются, классическая физика не может удовлетворительно объяснить молекулярные силы. Чтобы их полностью понять, понадобилась квантовая механика. Однако на основе большого массива опытных данных удается получить качественную картину проявления сил Ван-дер-Ваальса в интерпретации классической механики.

Первопричиной возникновения молекулярных сил (силы притяжения и отталкивания, проявляющиеся при сближении молекул) является электрическое взаимодействие электрических зарядов, входящих в состав атомов и молекул. При сближении молекул на сравнительно большом расстоянии начинают проявляться силы притяжения. Они изменяются обратно пропорционально 7-й степени удаления, т.е. F~1/r7.

Молекулярные силы притяжения не являются фундаментальными. Они возникают в результате сложного взаимодействия всех электронов и ядер одной молекулы со всеми электронами и ядрами другой, т.е. обусловлены очень сложной комбинацией действия фундаментальных электрических сил. Они не являются фундаментальными ещё и потому, что разыгрываются на очень малых объектах и расстояниях, когда неприменимы законы классической механики.

Существует несколько типов сил трения:

1) сила трения скольжения, обусловленная силами притяжения молекул двух тел, скользящих относительно друг друга;

2) сила вязкого трения, возникающая в результате медленного движения тела в жидкости или газе;

3) сила трения, вызванная быстрым движением тела в жидкости или газе.

Сила трения скольжения приводит к затратам энергии при перемещении тела по поверхности другого тела. Механизм потерь таков: неровности на поверхностях соприкасающихся тел при движении сминаются, возникают колебания и движения атомов, и тепло растекается по обоим телам. Кроме того, в результате "цепляния" шероховатостей некоторая часть их разрушается – поверхности стираются, на что также затрачивается энергия. Оказывается, эмпирически это трение можно описать простым законом. Сила, нужная для того, чтобы преодолевать трение скольжения, пропорциональна нормальной силе с постоянным коэффициентом пропорциональности (коэффициентом трения):

. (3.5)

Сила вязкого трения оказывается пропорциональной 1-й степени скорости тела:

. (3.6)

Сила трения, проявляющаяся при быстром движении тела в жидкости или газе, в отличие от простого вязкого трения обусловлена не только передачей импульса соседним слоям молекул жидкости или газа, но образованием в среде различных вихрей, звуковых и ультразвуковых волн, вибрациями самого тела. Однако приближенно эта сила пропорциональна квадрату скорости тела:

. (3.7)

Консервативные и неконсервативные силы. В каждой точке пространства на тело может действовать определенная сила. В таком случае пространство представляет собой поле сил. Например, тело вблизи поверхности Земли находится в поле сил тяжести. В каждой точке пространства на него действует сила , направленная по вертикали вниз.

Если работа, совершаемая над телом, не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положениями тела в пространстве, то поле сил называется потенциальным, а сами силы – консервативными (потенциальными). Силы, работа которых зависит от формы пути, по которому тело переходит из одного положения в другое, называются неконсервативными.

Для установления связи между силойF и результатом ее воздействия - ускорениемa, необходимо измерить силу и ускорение.

Силу, обычно, измеряют, пользуясь эталоном, а ускорение - используя кинематические соотношенияa= dv/dt.

Опыты показывают, что при действии одной и той же силы, различные тела приобретают различные ускорения, т.е. различна инерция этих тел.

Физической величиной, характеризующей инертность материального тела, является его масса-m. Понятие массы, как и другие физические понятия, раскрывается лишь при изучении всех ее свойств и проявлений. Массу тела, определяющую его инертные свойства, называют инертной массой. Массу тела, которая характеризует свойства тел при их взаимном притяжении, называют гравитационной массой. При соответствующем выборе единиц измерения инертная и гравитационная массы совпадают.

Одной из физических величин, описывающих свойства движущихся тел, является количество движения или импульс

p= mv. (3.8)

При движениях со скоростью v<<c, m = m0 иp= m0v, а так как масса при этом не зависит от скорости, то и количество движения не зависит от скорости.

Для движений со скоростью v~c масса зависит от скорости:

, (3.3)

где b = v/c.

Следовательно, и импульс

, (3.10)

то есть каждому значению скорости соответствует свое значение массы и импульса.

Обобщив опытные данные, Ньютон пришел к выводу: "Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и направлено вдоль прямой, по которой действует данная сила".

Математически это можно записать так:

, (3.11)

при Dt®0

. (3.12)

Выражение (3.12) называют основным уравнением движения в динамике.

Если v<<c, то

, (3.13)

где - результирующая всех сил, действующих на тело (материальную точку; систему);

Из (3.13)

a = F/m. (3.14)

Таким образом, ускорение всякого тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела.

Этот результат следует из закона независимости действия сил, согласно которому при действии на тело нескольких сил каждая из них сообщает телу такое же ускорение, какое она сообщила бы, если бы действовала одна.

Любой вектор можно разложить в пространстве на три взаимно перпендикулярные составляющие (соответственно направленные вдоль осей ОХ, ОУ и OZ).

Поэтому вектор силы имеет три компоненты:

, ,

. (3.15)

Уравнения (3.15) представляют собой полную форму второго закона Ньютона.

Зная силы, действующие на тело, и разлагая их на компоненты, можно с помощью этих уравнений найти движение тела (т.е. установить кинематические параметры). Возможна постановка и обратной задачи: зная уравнение движения и массу тела, можно определить силу, обусловливающую ускорение тела. Так что динамика в отличие от кинематики рассматривает не только параметры кинематики, но и интересуется причинами, вызывающими движение, то есть – силами.

В динамике рассматриваются два типа задач, решения которых для материальной точки (или поступательно движущегося тела) находятся с помощью уравнения второго закона Ньютона.

На основании второго закона Ньютона для данного тела можно по известной силе найти его ускорение и, наоборот, по известному ускорению найти результирующую силу, действующую на него.

В этом и заключается физическое содержание второго закона Ньютона.

Задачи первого типа состоят в том, чтобы, зная движение тела, определить действующие на него силы. Классическим примером решения такой задачи является открытие Ньютоном закона всемирного тяготения: зная установленные Кеплером, на основании обработки результатов наблюдений, законы движения планет, Ньютон показал, что это движение происходит под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния между планетой и Солнцем. В технике такие задачи возникают при определении сил, с которыми движущиеся тела действуют на связи, т.е. другие тела, ограничивающие их движение, например при определении сил давления колес на рельсы, а также при нахождении внутренних усилий в различных деталях машин и механизмов, когда законы движения этих машин (механизмов) известны.

Задачи второго типа являются в динамике основными и состоят в том, чтобы по действующим на тело силам определить закон его движения. Для решения этих задач необходимо знать так называемые начальные условия, т.е. положение и скорость тела в момент начала его движения под действием заданных сил. Примеры таких задач: по величине и направлению скорости снаряда в момент его вылета из канала ствола (начальная скорость) и действующим на снаряд при его движении силе тяжести и силе сопротивления воздуха найти закон движения снаряда, в частности его траекторию, горизонтальную дальность полета, время движения до цели; по известным скорости автомобиля в момент начала торможения и силе торможения найти время движения и путь до остановки; по силе упругости рессор и весу кузова вагона определить закон его колебаний.

Задачи динамики для твердого тела (при его непоступательном движении) и различных механических систем решаются с помощью уравнений, которые получаются как следствия второго закона динамики, применяемого к отдельным частицам системы или тела; при этом еще учитывается равенство сил взаимодействия между этими частицами (третий закон динамики).

При изучении движения механических систем часто применяют так называемые общие теоремы динамики, которые также могут быть получены как следствия второго и третьего законов динамики. К ним относятся теоремы о движении центра масс (или центра инерции) и об изменении количества движения, момента количества движения и кинетической энергии системы.

Иной путь решения задач динамики связан с использованием вместо второго закона динамики принципов механики (Д'Аламбера, Д'Аламбера - Лагранжа, вариационные принципы механики) и получаемых с их помощью уравнений движения, в частности уравнений механики Лагранжа.

Помимо общих методов изучения движения тел под действием сил, в динамике рассматриваются специальные задачи: теория гироскопа; теория механических колебаний; теория устойчивости движения; теория удара; механика тел переменной массы. С помощью законов динамики изучается также движение сплошной среды, в частности упруго или пластически деформируемых твердых тел, жидкостей и газов. Наконец, в результате применения методов динамики к изучению движения конкретных объектов возник ряд специальных дисциплин: небесная механика; внешняя балистика; динамика автомобиля, самолета; динамика ракет.

Надо иметь в виду, что в общем случае записи второго закона Ньютона в виде и , не эквивалентны, так как в общем случае

, (3.16)

что связано с зависимостью массы от скорости при v~c. Их эквивалентность сохраняется лишь при v<<c.

Опыты показывают, что "всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, всегда равны по величине и противоположны по направлению". Данное утверждение и носит название третьего закона Ньютона:

F12= - F21. (3.17)

  Рис.3.1

При этом силы действия и противодействия всегда приложены к разным телам и никогда не уравновешивают друг друга (рис.3.1).

По третьему закону Ньютона действие не может существовать без противодействия, поэтому ни одна машина не способна сама по себе развить силу, приводящую ее в движение, необходимо участие, по крайней мере, одного (внешнего по отношению к машине) тела, противодействие которого приведет машину в движение.

Из основного уравнения динамики при v<<c

;

или , (3.18)

где -импульс силы, мера действия силы за некоторый промежуток времени.

Импульс силы - векторная величина; он направлен, так же, как и действующая сила. При движении материальной точки (тела) под действием силыF ее количество движения получает приращение, равное импульсу силы. Понятие импульса широко используется в механике, в частности в теории удара, где величина, равная импульсу ударной силы за время удара, называется ударным импульсом.

Надо иметь в виду, что все законы динамики (классической механики) подтверждаются и проверяются опытным путем.


3.2. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета

Инерциальными системами отсчета называются такие системы, в которых выполняются законы Ньютона. Это системы отсчета, связанные с телом отсчета, которое в условиях данной задачи можно считать неподвижными. Системы отсчета, движущиеся с постоянной скоростью прямолинейно, относительно другой произвольно выбранной системы отсчета, динамически неразличимы, поэтому все они являются инерциальными. В любой из этих систем тело движется с одним и тем же ускорением, а, следовательно, на него действует одна и та же результирующая сила. Эксперимент, поставленный, например, с помощью машины Атвуда, в любой из этих систем даст одни и те же результаты. Если вагон поезда движется равномерно, то при закрытых шторками на окнах никакими механическими опытами нельзя установить, движется ли он или стоит на месте.

Наиболее обоснованно в качестве инерциальной системы выбрать гелиоцентрическую систему, т.е. систему, связанную с Солнцем. Многочисленные опыты подтверждают это положение. Однако на практике чаще всего систему отсчета связывают с каким-либо неподвижным телом, находящимся на Земле. Строго говоря, такая система лишь в первом приближении может считаться инерциальной, так как Земля участвует одновременно в двух вращательных движениях: вокруг Солнца и вокруг собственной оси. При решении многих задач можно считать эти вращения достаточно медленными и не учитывать их.

Неинерциальная система отсчета– система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета с ускорением.

Введем новые обозначения:

- ускорение относительно инерциальной системы отсчета (СО).

- ускорение относительно неинерциальной системы отсчета (НСО).

Поскольку ускорения в этих системах будут различны, то

или . (3.19)

Откуда следует, что даже при ускорение тела относительно НСО не равно нулю. Ускорение называют ускорением инерции, а соответственно – силой инерции.

Таким образом, рассматривая задачу динамики в неинерциальной системе, помимо известных для инерциальной системы сил, вводится еще одна – сила инерции, которая должна учитываться при векторном суммировании действующих на тело сил. Следовательно, в инерциальной системе отсчета уравнение движения имеет вид , а в неинерциальной - .

В конечном итоге мы получаем математически эквивалентные уравнения движения, а предпочтение СО или НСО определяется лишь степенью простоты или наглядности при получении уравнения движения.





Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 441; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.225.16.10
Генерация страницы за: 0.022 сек.