Экстремумы функций многих переменных

Решение задачи оптимизации существенно усложняется, когда критерий оптимальности является функцией нескольких независи­мых переменных даже при известном аналитическом выражении этой функции. Наибольшие трудности возникают при отсутствии непрерывности у всех или некоторых производных оптимизируе­мой функции. В последнем случае для решения оптимальной за­дачи целесообразно использовать методы нелинейного программи­рования. Ниже рассмотрены необходимые и достаточные условия лишь для непрерывных функций, имеющих к тому же непрерывные про­изводные первого и второго порядков.

Для непрерывной функции многих переменных

R = R (х_{2,………….,}), (111.2)

имеющей непрерывные производные первого и второго порядков по всем переменным (i=1,…, n), необходимым условием экстремума в точкеслужит равенство нуля в этой точке первых производных по всем переменным. Другими словами, точки, в которых возможен экстремум функции (111,2), могут быть определены решением системы уравнений:

. i = 1, …, n (111,3)

Для того чтобы проверить, действительно ли точка, координаты которой удовлетворяют системе уравнений (111,3), является точкой экстремума функции (111,2), уже недостаточно проверки экстремальности по всем переменным в от­дельности. В качестве примера рассмотрим задачу отыскания экстремума функции двух переменных:

R = 4 -. (111,4)

Система уравнений (111,3) при этом имеет вид:

(a)

Решением ее являются значения:

(б)

Точка с координатами (б) является точкой, в которой может быть экстремум. Вычисление вторых производных по каждой из переменных в этом случае дает:

. (в)

Из соотношений (в) следует, что по каждой из переменных и в точке (б) функция (111, 4) принимает максимальное значение. Однако можно показать, что точка с координатами (б) в действительности не является точкой экстремума. Наиболее наглядно это доказывается поворотом осей координат на угол 45°. В данном случае для новых координат будут справедливы следующие формулы преобразования:

(г)

Подставляя выражения (г) в соотношение (111,4) с учетом того, что sin 45° = cos45°=

найдем

R= 3 + ()². (111. 5)

Очевидно, что при вращении системы координат экстремальные свойства функции R(, х₂) не нарушаются. Поэтому, вычисляя производные от функ­ции (111,5) по обеим переменным и приравнивая их нулю, получим систему уравнений

2(= 0, (д)

решение которой определяет положение точки, «подозреваемой» на экстремум в новой системе координат:

=0. (е)

Вычисление вторых производных по каждой из координат в новой системе теперь дает:

. (ж)

Из уравнений (ж) следует, что изучаемая точка не является экстремальной, так как по переменной — максимум. Нетрудно пред­ставить вид поверхности, описывае­мой выражениями (111, 4) или (111,5). Она представляет собой «седло» (рис. 111-8), имеющее точ­ку, в которой первые производные функции по обеим переменным обра­щаются в нуль. Разумеется, что использо­ванная процедура поворота осей координат в общем слу­чае непригодна для практиче­ского исследования точек, по­дозреваемых на экстремум. В особенности это относится к задачам, в которых число не­зависимых переменных велико.

Дата добавления: 2014-01-06