КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Ранг и базис системы векторов
Опр. Рангом r системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы. Опр. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. В частности, любая совокупность п линейно независимых векторов п -мерного пространства является базисом.
Теорема. Любой вектор системы можно единственным образом представить в виде линейной комбинации векторов базиса этой системы. Док-во. Пусть система имеет базис . 1) Пусть вектор из базиса (например, это ). Тогда . 2) Пусть вектор не из базиса. Например, это вектор , где р>к. Рассмотрим систему .Она является линейно зависимой. Следовательно, найдутся числа , не все равные нулю, такие, что . Очевидно, что , т.к. в противном случае базис являлся бы линейно зависимым. Тогда . 3) докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеются два разложения вектора по базису: и . Вычитая эти равенства, получим: . Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим: , …, . Следовательно, разложение единственно.▲
Ранг п -мерного пространства равен его размерности. Значит, любой его базис состоит из п линейно независимых п -мерных векторов. Любая система в п -мерном пространстве, содержащая больше, чем п векторов, линейно зависима. Любой вектор пространства можно однозначно разложить по векторам любого базиса. Коэффициенты разложения называются координатами данного вектора в этом базисе.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 980; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |