Уравнения состояния линейной электрической цепи

Общая задача расчета установившегося режима

Общие сведения о схемах замещения

Проверка адекватности модели

Проверка адекватности математической модели заключается в определении степени соответствия результатов, полученных по разработанной модели, данным эксперимента или результатам расчётов по другим, созданным ранее и хорошо себя зарекомендовавшим моделям.

Различают качественное и количественное совпадение результатов сравнений. При качественном сравнении требуется лишь совпадение характерных особенностей исследуемых параметров (положительные или отрицательные значения параметра, возрастание или убывание, наличие экстремальных точек и т.д.).

Вопрос о количественном сравнении можно ставить лишь после удовлетворительного ответа о качественном соответствии результатов.

При количественном сравнении оценивается точность исходных данных и соответствующих им значений сравниваемых параметров.

Решение вопроса о точности моделирования зависит от требований, предъявляемых к модели, и её назначения.

При этом должны учитываться точность экспериментальных данных или особенности тестовых задач.

В моделях, предназначенных для выполнения оценочных расчётов, удовлетворительной считается точность 10 – 15 %. В моделях, используемых в управляющих и контролирующих системах, требуемая точность должна быть в пределах 1-2%.

2 УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА

Для выполнения расчетов реальной системе ставится в соответствие так называемая схема замещения, представляющая собой совокупность схем замещения отдельных ее элементов, соединенных между собой в той же последовательности, что и в реальной схеме.

Основное отличие схемы замещения состоит в том, что она отображает физические свойства элементов схемы.

На рисунке 1 представлена принципиальная схема относительно простой электрической системы.

Схема содержит две электростанции (ЭС-1, ЭС-2) и три понизительные подстанции (А,В,С), связанные между собой шестью линиями электропередачи одного номинального напряжения (Л1 ¸ Л6). Суммарная нагрузка потребителей, питающихся от шин низшего напряжения каждой из подстанций, обозначена стрелками.

Отдельные элементы электрической системы представляются на схемах замещения в виде сопротивлений, источников напряжения или источников тока.

Источники электроэнергии может быть представлен в виде источника ЭДС и последовательно соединенного с ним сопротивления Z (рис 2,а), либо в виде источника тока J, значение которого равно току установившегося режима (рис. 2,б), причем последний обычно отображают так называемым задающим током (рис 2,в).

Нагрузка имеет схему замещения либо в виде сопротивления Z (рис. 3,а), либо в виде источника тока, равного взятому с обратным знаком току нагрузки (рис. 3,б), либо в виде задающего тока (рис 3, в).

Линии электропередачи, трансформаторы подстанций и электростанций представляются в схеме замещения системы в виде сопротивлений, причем схемы замещения трансформаторов могут быть объединены со схемами замещения соответствующих источников питания и нагрузок.

Схемы замещения составляются для одной фазы.

Один из вариантов схемы замещения электрической системы, изображенной на рисунке 1, показан на рисунке 4,а. Здесь электростанции представлены источниками ЭДС и сопротивлениями, а трансформаторы и нагрузки – сопротивлениями. Другой вариант схемы замещения той же системы приведен на рисунке 4,б, где электростанции и нагрузки представлены задающими токами. Выбор того или иного ва­рианта схемы замещениями определяется целями расчета и исходными данными.

Таким образом, схема замещения электрической системы, используемая для

расчетов установившихся режимов, представляет собой электрическую цепь.

Это означает, что к схеме замещения электрической системы применимы такие понятия, характеризующие электрические цепи, как ветвь, узел и контур. Как известно, ветвью называется участок цепи, который состоит из последовательно соединенных ЭДС и сопротивления (либо только сопротивления) и вдоль которого в любой момент времени протекает один и тот же ток. Узел определяется как точка соединения двух или более ветвей. При этом одной из ветвей может быть источник тока.

Контур – это любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

Схемы замещения содержат также узел нейтрали (земли), имеющий нулевой потенциал. Ветви, связанные с узлом нейтрали (ветви источников тока и нагрузок) называются поперечными, остальные – продольными.

Схемы, содержащие контуры, называются замкнутыми. При отсутствии контуров схема замещения называется разомкнутой.

Сопротивления, входящие в схему замещения электрической системы, при расчетах ее установившихся режимов обычно принимаются постоянными, т.е. не зависящими от токов и напряжений. В то же время, как правило, учитываются нелинейные характеристики источников тока. В схемах замещения электрических систем нелинейные источники тока соответствуют генераторам, работающим с постоянной мощностью, либо нагрузкам потребителей, заданных

постоянной мощностью или статическими характеристиками, определяющими зависимость мощности от напряжения.

Уравнения установившегося режима электрических систем с нелинейными источниками тока описываются системой нелинейных алгебраических уравнений. Установившиеся режимы цепей, содержащих только линейные сопротивления и не изменяющиеся по величине источники тока, описываются линейными алгебраическими уравнениями. При этом схема замещения представляет собой линейную электрическую цепь. Этот случай соответствует расчету устано­вившихся режимов при задании постоянных по величине токов нагрузки потре-

бителей и токов генераторов во всех узлах электрической системы.

Расчет установившегося режима сложной электрической сети сводится к ре­ше­нию систем нелинейных алгебраических уравнений. Такие расчеты проводятся на ЭВМ с помощью итерационных методов. При этом каждая итерация расчета заключается в решении системы линейных уравнений.

Этапы решения задачи:

1. Составление математической модели.

2. Решение системы нелинейных уравнений.

3. Анализ полученных результатов.

Часто при расчетах не удается получить решение системы уравнений с помощью используемого итерационного процесса.

В этом случае решение либо не существует и не может быть найдено никакими другими методами, либо решение существует, но не сходится итерационный процесс. В последнем случае решение можно получить, если изменить начальные условия или сам итерационный процесс.

В связи с этим возникает задача исследования существования, единственности и сходимости решения, для того чтобы отличить расходимость итерационного процесса и невозможность получения режима, отвечающего условиям задачи.

Уравнения установившегося режима нередко имеют несколько решений. Задача расчета установившегося, допустимого или оптимального режима значительно упрощается, если удается доказать, что в заданной области может существовать только одно решение.

Состояние линейной электрической цепи описывается уравнениями законов Ома и Кирхгофа.

Закон Ома определяет взаимосвязь параметров каждой из ветвей цепи.

Для i-й ветви, характеризующейся сопротивлениями Z_i, действующей в ней

ЭДС и протекающим по ней током , разность потенциалов между ее концами (напряжение на ветви) определяется в соответствии с уравнением

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в каждом узле электрической цепи и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Для произвольного узла, содержащего источник тока и связывающего k ветвей, уравнение первого закона Кирхгофа имеет вид:

.

В этом выражении и всюду в дальнейшем будем считать, что все источники тока, подключенные к данному узлу, заменяются одним эквивалентным источником тока.

Второй закон Кирхгофа определяет баланс напряжений в контурах электрической цепи и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма

напряжений на ветвях контура равна нулю.

Для произвольного контура, содержащего k ветвей, уравнение второго закона Кирхгофа записывается в виде

= 0.

Как известно, для электрической цепи, содержащей n узлов, по первому закону Кирхгофа можно составить n-1 взаимно независимых уравнений, т.е. один узел исключается из рассмотрения. Этот узел называется балансирующимузлом.

Для схемы, содержащей m ветвей и n узлов, число независимых уравнений второго закона Кирхгофа или, что то же самое, число независимых контуров равно:

К = m – n + 1.

В общем случае для электрической цепи, содержащей n узлов и m ветвей, число независимых уравнений первого и второго законов Кирхгофа

(n – 1) + (m – n + 1) = m,

т.е. равно числу ветвей схемы.

Таким образом, система уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, состоит из m уравнений и содержит m неизвестных токов в ветвях. Решив эту систему, найдем токи во всех ветвях. Зная напряжение одного узла и токи в ветвях, легко найти напряжение всех узлов. Узел, для которого задано напряжение, называется базисным по напряжению (или базовым).

Составление уравнений состояния для сложных схем является трудоемкой процедурой. Поэтому решение этой задачи необходимо производить на ЭВМ.

Для этого требуется иметь формализованный подход к составлению уравнений, который был бы одинаков для схем любой сложности и конфигурации. Такой подход может быть разработан на основе аналитического представления

конфигурации схемы замещения с помощью теории графов и алгебры матриц.

Дата добавления: 2014-01-06