Метод Рунге-Кутта для ОДУ высших порядков

Метод 32

Метод Рунге-Кутта для решения систем ОДУ

Метод 31

Метод 30

Модифицированный метод Эйлера.

Метод 29

Точность

Метод Эйлера.

Метод 28

Простейшим методом решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является метод Эйлера.

Требуется найти. Как зависит от.

Будем находить решение в точках отстоящих друг от друга на расстоянии h (шаг задачи). Допустим решение в точке известно, и требуется найти значение неизвестной в точке. Разложим решение в окрестности точки в ряд Тейлора:

В этом ряде ограничимся первыми двумя слагаемыми

В результате получаем простейшую формулу

, которая реализует метод Эйлера.

,,

погрешность на одном шаге.

Таким образом, погрешность метода Эйлера равна.

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение,

которое используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала. Значение производной полагают равным.

Мы нашли, что в начале интервала значение производной равно

, а в конце

Для нахождения на интервале удобно использовать среднее значение.

Такое представление производной тождественно использованию в ряде Тейлора членов пропорциональных.

Метод Рунге – Кутта.

Это метод, который позволяет учесть в ряде Тейлора члены, содержащие старшие производные.

Для этого при вычислении старших производных используется результаты расчетов в точках внутри интервала. Метод Рунге – Кутта объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Отличаются эти методы порядком точности, т.е. числом слагаемых в ряде Тейлора.

Наиболее распространенным является метод, при котором удерживаются члены пропорциональные (метод 4-го порядка точности) когда говорят метод Рунге-Кутта, то имеют в виду метод четвёртого порядка.

Расчеты в этом методе производятся по следующим формулам

y

x

x₁

x₀

∆y

Метод Рунге – Кутта может применяться для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Например: при решении системы

найдем

В этом случае расчеты производятся по следующим формулам:

Метод Рунге – Кутта можно использовать для решения дифференциальных уравнений высокого порядка (второго или более высокого). Для этого дифференциальное уравнение сводится к системе уравнений первого порядка.

Например: дифференциальное уравнение второго порядка:

Введём переменную, в результате решаемая задача приводится к следующей задаче:

получили систему двух уравнений первого порядка.

Дата добавления: 2014-01-06