Нестационарные процессы в цепи, содержащей индуктивность

Лекция 9. Взаимосвязь электрического и магнитного полей. Переменное магнитное поле. Явление и закон электромагнитной индукции. Явление самоиндукции. Нестационарные процессы в цепи с индуктивностью. Явление и закон электромагнитной индукции (ЗЭМИ). ЭДС самоиндукции.

В I831 г. M. Фарадей опытным путем установил, что при любом изменении потока Ф_В индукции магнитного поля, пронизывающего поверхность, ограниченную замкнутым проводящим контуром, в нем наводится (индуцируется) ЭДС индукции e_и, пропорцио­нальная быстроте изменения магнитного потока: e_и ~ dФ/dt.

В 1834 г. Ленц установил правило, согласно которому в замкнутом проводящем контуре ЭДС индукции e_и порождает индукционный ток I_и такого направления, что созданное им магнитное поле противодействует изменениям магнитного потока, породившего e_и. Знак минус в формуле показывает, что если магнитный поток возрастает (dФ/dt > 0), то Е_i < 0, следовательно, индукционный ток, ослабляя внешнее магнитное поле, будет препятствовать возрастанию магнитного потока. Если магнитный поток убывает (dФ/dt < 0), то Е_i > 0, и индукционный ток будет препятствовать убыванию магнитного поля и магнитного потока. Таким образом, знак минус в формуле определяется правилом Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток.

С учетом правила Ленца закон электромагнитной индукции (Фарадея) принимает следующий вид: e_и = - dФ/dt - ЭДС индукции в контуре числено равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на контур.

Гельмгольц вывел ЗЭМИ, исходя из закона сохранения энергии, рассмотрев перемещение в магнитном поле контура с сопротивлением R, включенного в цепь источника тока с ЭДС e.

Энергия источника eIdt расходуется на джоулев нагрев I²Rdt и совершение работы IdФ по пере­мещению контура в магнитном поле, т. е.

eIdt = I²Rdt + IdФ Þ I = (e - dФ/dt)/R = (e + e_и)/R

где изменение магнитного потока при перемещении контура порождает в нем некоторую отрица­тельную добавку к ЭДС источника тока и представляющую собой ЭДС индукции

e_и = - dФ/dt

Возникновение э.д.с. индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией. Применим к явлению самоиндукции закон Фарадея. Тогда э.д.с. самоиндукции:

e_S =

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется, то L= const и

e_S =

Знак «-» показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем: если ток со временем растет, e_S < 0, т. е. ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешними источниками, и замедляет его возрастание. Если ток убывает, то e_S > 0, и индукционный ток направлен так же, как и убывающий ток в контуре, замедляя его возрастание. Таким образом, контур, обладающий индуктивностью, приобретает некоторую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.

При замыкании источника тока c ЭДС e и внутренним сопротивлением r на катушку индуктивности L в цепи протекает ток, сила I которого, в соответствии с законом Ома для замкнутой цепи, равна:

I = (e + e_{с и})¤r = (e - LdI/dt)¤ r

Разделяя переменные I и t в полученном дифференциальном
соотноше­нии, получаем: dI¤(e - Ir) = dt/L

Интегрируем полученное равенство:

= Þ ln (e - Ir) - ln e = - rt/L Þ ln [(e - Ir)/e] = - rt/L Þ (e - Ir)/e = е^-rt/L Þ I = (e/r)(1 - е^{- rt/L}).

Сила тока в цепи монотонно нарастает до установившегося (стационарного) значения, равного I_уст = e/r. Катушка индуктив­ности, как это и должно быть в соответствии с явлением самоиндукции, препятствует мгновенному нараста­нию силы тока в цепи, последовательно в которую она вклю­чена. Индуктивность играет роль инертного элемента, является магнитным аналогом массы, выступает мерой замед­ленности быстроты (скорости) изменений силы тока, пропускае­мого через неё.

При переключении катушки с током на резистор R в цепи будет протекать ток, сила I которого определится из уравнения – закона Ома:

I = e_{с и}¤R = - LdI/Rdt.

Разделяя переменные и интегрируя соотношение, получаем:

= - R Þ ln I - ln I_о = - Rt/L Þ ln I/I_о = - Rt/L Þ I = I_ое^{- Rt/L}.

Здесь индуктивность также не позволяет току мгновенно измениться (упасть, убыть до нуля). И, несмотря на то, что источник тока выключен, и нет электри­ческих сил, обеспечивающих перемещение электрических зарядов, то есть протекание тока в цепи, он продолжает течь за счёт энергии магнитного поля, накопленной катушкой. Или, иначе говоря, ЭДС самоиндукции в катушке, противодействуя убыванию тока в ней, создаёт ток, поддержи­вающий ток "выключения" в цепи.

Лекция 10. Квазистационарное электромагнитное поле. Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Физика про­цессов, обусловливающих возникновение гармонических колебаний заряда и тока. Квазистационарное электромагнитное поле. Электромагнитные колебания.

В статическом (заряды неподвижны) и стационарном (заряды равномерно движутся, т. е. образуют постоянный ток) состояниях, создаваемые зарядами и токами электростатическое и магнитостатиче­ское поля существуют автономно, независимо друг от друга. Если же заряды движутся неравно­мерно, т. е. образуют переменный ток, то, как следует уже из явления электромагнитной индукции, возникает связь между электрическим и магнитным полем (электрическое поле создается уже не только электрическими зарядами, но и переменным магнитным полем). Такая связь приводит к появлению единого электромагнитного поля, основными формами существования которого явля­ются электромагнитные колебания и волны. В отличие от электромагнитных волн, электромагнит­ные колебания существуют в локализованном, т. е. связанном с порождающими его телами, состоянии. Такое, не распространяющееся в пространстве состояние электромагнитного поля, называют квазистационарным.

Под колебаниями понимают вид движений, характеризующихся повторяющимися измене­ниями состояния системы вокруг положения равновесия. В механике состояние системы задавалось двумя параметрами: положением (радиус-вектором ) и быстротой его изменения - скоростью = d/dt.

Электромагнитное состояние со стороны источников поля также может быть задано двумя параметрами: зарядом q и быстротой его изменения - силой тока I = dq/dt.

Колебания могут происходить в системе, обладающей упругостью, инертностью и малым затуханием при выведении ее из устойчивого состояния равновесия. Благодаря упругости в возму­щенной системе (выведенной из равновесия) возникают силы, противодействующие отклонению системы от положения равновесия, а благодаря инертности система, возвращаясь в равновесие, проскакивает его (по инерции) и самоотклоняется от равновесия в противоположную сторону. Далее процесс развивается в обратном направлении, и таким образом возникает повторяю­щийся, циклический, то есть колебательный характер изменения состояния системы.

Ниже мы будем рассматривать периодические колебания заряда и тока, характерным для которых является наличие периода Т - наименьшего времени повторения процесса изменения состояния системы: q(t) = q(t + nT), где n Î Z.

По форме изменения параметров состояния рассмотрим колебания, называемые гармониче­скими: q = q_м cos (wt + j) = q_мcos Ф,

где q_м - амплитуда колебания - наибольшее (максимальное) отклонение от равновесного значения;

Ф = wt + j - полная фаза колебания - характеристика текущего (мгновенного) состояния колеба­тельного процесса;

j = Ф (при t = 0) - начальная фаза колебания; измеряется в радианах и задает состояние колеба­тельного процесса в начальный момент времени;

w = dФ/dt - циклическая частота колебания; измеряется в рад/с и численно равна быстроте изме­нения фазы.

Простейшей электромагнитной колебательной системой является колебательный контур, состоящий из конденсатора и катушки индуктивности. Если провести аналогию с механическими колебаниями, то нужно отметить, что конденсатор реализует свойство упругости, а катушка индук­тивности - свойство инертности.

Рассмотрим качественно механизм возникновения свободных [4] колебаний заряда и тока в контуре. В состоянии равновесия конденсатор не заря­жен. Сообщив конденсатору некоторый заряд q, выведем колебатель­ную систему из положения равновесия. Появив­шееся электрическое поле приведет в движение заряды, накопленные на пластинах конден­сатора; потечет разрядный ток I. Этот возрастающий ток, проте­кая по виткам катушки, вызовет появление в ней ЭДС самоиндукции e_си = - LdI/dt, «направленной» (в соответствии с правилом Ленца) против причины ее вызвавшей, то есть препятствующей измене­ниям разрядного тока. Т. к. в начальный момент разрядный ток стремится возрасти, то ЭДС самоиндукции имеет такую полярность, при которой она препятствует его возрастанию. При этом по мере разряда конденсатора, накопленная в нем энергия электрического поля, будет переходить в энергию магнитного поля катушки. В момент, когда конденсатор полностью разрядится, вся его энергия W_э = q²/2С = СU²/2 перейдет в энергию магнитного поля катушки W_м = LI²/2, ток в контуре достигнет максимального значения. Но вследствие магнитной инертности ток в контуре не может резко упасть до нуля. Этому препятствует ЭДС самоиндукции, которая меняет знак и поддерживает дальнейшее протекание тока в контуре, вызывающего теперь перезарядку конденсатора. Перезарядный ток постепенно уменьшается до нуля, конденсатор полностью перезаряжается, и далее процесс разрядки конденсатора повторяется в обратном направлении.

Рассмотрим количественную сторону процессов осуществления колебаний в контуре. Считая систему консервативной (пренебрегая потерями энергии колебаний в контуре), запишем закон сохранения энергии:

W_э + W_м = q²/2C + LI²/2 = const Þ q²/CL + (dq/dt)² = const

Продифференцировав полученное равенство по времени, получим дифференциальное урав­нение для заряда. Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

(2q/LC)×dq/dt + 2(dq/dt)×d²q/dt² = 0 Þ d²q/dt² + q/LC = 0 Þ d²q/dt² + w_о²q = 0

где w_о = 1/Ö(LC) - циклическая частота собственных колебаний заряда в контуре, определяемая его внутренними (собственными) характеристиками: емкостью конденсатора и индуктивностью катушки.

Дата добавления: 2014-01-06