IV. Голономные и неголономные

III. Геометрические и кинематические.

II. Стационарные и нестационарные.

I. Удерживающие и неудерживающие.

Связь называется удерживающей, если её аналитическое выражение записано в виде равенства.

Связь называется неудерживающей (односторонней), если её аналитическое выражение записано в виде неравенства.

Во всех приведённых примерах, кроме второго (пример В)), связи – удерживающие. В примере В) связь (20) – неудерживающая.

Неудерживающие связи разделяют движение на две части: при выполнении строгого неравенства (<) никаких ограничений на координаты не накладывается; при выполнении равенства связь превращается в обычную удерживающую связь. Поэтому дальше будем рассматривать только удерживающие связи.

В уравнение связи может входить, или не входить, явно время t. По этому признаку связи подразделяют на:

Связь называют стационарной, если в её аналитическое выражение не входит явно время t, т.е., если

Связь называют нестационарной, если в её аналитическое выражение явно входит время t,

Связи (22) и (23) примеров С) и D) не стационарны. Во всех остальных примерах приведённые связи стационарны.

Уравнение связи может содержать, или не содержать, производные от координат (скорости). По этому признаку связи делят на:

Связь называется геометрической, если в её аналитическое выражение входят только координаты точек системы.

Связь называется кинематической, если в её аналитическое выражение входят как координаты, так и производные от координат точек.

В примерах А) – D) все связи геометрические. В примерах E), F) приводятся кинематические связи.

Некоторые кинематические связи можно интегрированием привести к геометрическим, а другие – нельзя.

Например, связь (24) (пример Е)) можно привести к геометрической связи:

Связь же (25) из примера F) невозможно с помощью интегрирования привести к геометрической.

Голономными называются любые геометрические и кинематические интегрируемые связи.

Кинематические неинтегрируемые связи называют неголономными связями.

В название связи включают её принадлежность по всем четырём критериям классификации. Например, связь

это кинематическая, голономная, стационарная, удерживающая связь.

Связь

это геометрическая (голономная), нестационарная удерживающая связь.

3. Действительные и возможные перемещения.

Пусть точка движется под действием силы. На точку наложена стационарная геометрическая связь

Проинтегрировав дифференциальное уравнение движения точки, можем найти в каждый момент времени

Отсюда

Равенство (26) определяет бесконечно малое перемещение точки за промежуток времени. Это перемещение удовлетворяет уравнению связи, происходит в результате действия на точку приложенных сил и называется действительным перемещением точки.

Однако, в данный момент времени связь не нарушится (т.е. точка останется на поверхности, определяемой уравнением связи), если точке сообщить некоторые бесконечно малые перемещения, отличные от действительного.

Такие бесконечно малые перемещения называют возможными перемещениями.

Любое бесконечно малое перемещение, не нарушающее в данный момент времени наложенных связей, называется возможным перемещением.

Возможные перемещения, чтобы отличить их от действительных, принято обозначать через.

В отличие от действительных возможные перемещения совершаются при фиксированном времени, т.е. точки системы могли бы переместиться без нарушения наложенных связей. Для различных моментов времени t множества возможных перемещений, вообще говоря, различны.

Среди множества возможных перемещений существуют несколько независимых друг от друга перемещений, через которые можно выразить все остальные перемещения. Это число независимых перемещений называют числом степеней свободы механической системы. Если точек в системе N, а на систему наложено m связей

то число степеней свободы системы равно

На возможных перемещениях, так же как и на действительных, можно вычислять работу сил:

Эта работа называется виртуальной работой силы.

Пусть на систему наложена геометрическая стационарная удерживающая связь

Применяя принцип освобождаемости от связей, заменим действие связи на точки системы реакцией и вычислим виртуальную работу этой реакции:.

Для различных связей вида (29) возможны следующие значения этой работы:

В первом случае (30) связь называется идеальной, а во втором – неидеальной.

Связь будет идеальной, если виртуальная работа реакции связи на любых возможных перемещениях равна нулю.

Неидеальными являются связи с трением.

Если на систему наложено насколько идеальных связей, то тогда

где реакция k -той отброшенной связи.

4. Принцип возможных перемещений.

Принцип возможных перемещений является необходимым и достаточным условием равновесия механической системы. Его можно использовать вместо векторных условий равновесия (главный вектор и главный момент системы сил равны нулю). Принцип возможных перемещений при изучении равновесия системы тел (составных конструкций) позволяет избежать определения многочисленных внутренних сил и более рационально определить требуемые внешние силы. Принцип возможных перемещений в современном виде был сформулирован Лагранжем, поэтому его иногда называют принципом Лагранжа.

Для равновесия механической системы с идеальными удерживающими связями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ сил, действующих на систему, на любых возможных перемещениях была равна нулю.

(без доказательства)

Символически принцип возможных перемещений может быть записан в виде

Рассмотрим пример применения принципа возможных перемещений к решению задач на равновесие.

Пример. Подъёмное устройство состоит из ведущего колеса 1 радиуса R₁, взаимодействующего с ним ведомого колеса радиуса R₂. На ворот ведомого колеса радиуса r намотана невесомая и нерастяжимая верёвка, к которой привязан поднимаемый груз весом P.

Определить момент М пары сил, которую надо приложить к ведущему колесу, для равномерного подъёма груза. Трением в опорах пренебречь. Скольжение между колесами отсутствует.

РЕШЕНИЕ. Связи являются идеальными, поэтому их реакции не показываем. Изображаем силу тяжести груза и пару сил с искомым моментом. Сообщаем точкам системы возможные перемещения:

поворачиваем колесо 1 на бесконечно малый угол по направлению пары сил;

колесо 2 повернётся при этом на бесконечно малый угол;

груз 3 сместится вверх на бесконечно малую величину.

Так как система находится в равновесии, то (принцип возможных перемещений!) сумма виртуальных работ всех сил на любых возможных перемещениях равна нулю:

На систему наложены связи:

т.к. колеса не скользят относительно друг друга;

т.к. верёвка не растяжимая и не скользит по вороту.

Число координат, определяющих положение системы равно трём:. Число наложенных связей равно двум. Следовательно, число степеней свободы согласно (27) равно, а поэтому у системы только одно независимое возможное перемещение.

Из первой связи получаем

Вторая связь даёт

Подставляя это выражение в сумму виртуальных работ (33), получим

Так как, то

Если принцип Даламбера и принцип возможных перемещений объединить, то получим общее уравнение динамики.

Согласно принципу Даламбера, если ко всем точкам системы добавить силы инерции, то получим уравновешенную систему сил.

Согласно принципу возможных перемещений, если система сил уравновешена, то сумма виртуальных работ всех сил на любых возможных перемещениях равна нулю.

Следовательно, можем записать

или, расписывая силы инерции точек в явном виде,

Равенство (34), или (35), называют общим уравнением динамики.

Дата добавления: 2014-01-06