Закон распределения

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины и ее числовые характеристики

Случайные величины

Случайной называют величину, которая в процессе функционирования объекта принимает одно и только одно возможное значение, заведомо неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Примеры:

а) Расстояние, которое пролетает снаряд;

б) Время безотказной работы какой-нибудь системы;

в) Число отказов за определенный период (месяц, год).

Обычно случайные величины обозначают большими буквами – X, Y, Z, а их возможные значения – соответствующими маленькими буквами x, y, z. Например, если случайная величина имеет три возможных значения, то эти значения будут иметь обозначения x_1, x_2, x₃.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения со вполне определенными вероятностями (пример «в»). Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка (примеры «а», «б»). Число возможных значений непрерывной случайной величины - бесконечное.

задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, т. к. случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, но при этом вероятности этих значений будут различны. Поэтому для задания дискретных случайных величин необходимо еще и указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон можно задать таблично (чаще всего), графически и аналитически (в виде формулы).

При табличном задании первая строка содержит возможные значения случайной величины, а вторая их вероятности:

Х	х1	х2	х3	…	хn
Р	р1	р2	р3	…	рn

Поскольку в одном опыте случайная величина принимает одно и только одно значение, то события Х=х₁, Х=х₂, Х=х₃,...,Х=х_n образуют полную группу, и сумма вероятностей р₁ + р₂ + р₃ +… + р_n = 1.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов стоимостью 1000 рублей каждый (на общую сумму 100 тысяч рублей). Разыгрывается один выигрыш в 50 000 и 10 выигрышей в 1000 рублей. Найти закон распределения случайной величины X — стоимости выигрышного выигрыша для владельца одного билета.

Решение. Возможные значения X: X₁=50000; X₂=1000; Х₃=0. Вероятности этих значений: p₁= 0,01; p₂=0,1; Р₃=0,89:

Рз = 1 - (р₁ + р₂) = 0,89

Искомый закон распределения:

X 50000 1000 О

Р 0,01 0,1 0,89

Графическое изображение этого закона в координатах (Х, Р) называют многоугольником распределения (рис. 2.3).

рис. 2.3 Графическое изображение закона распределения дискретной случайной величины – многоугольник распределения

Примером аналитического задания закона распределения может служить формула Бернулли, которая определяет биномиальное распределение

p_к(n) =,

являющееся зависимостью появления k раз события А в n испытаниях, если в каждом испытании вероятность, события одинакова и равна p(q = 1—р). Здесь -число сочетаний из n по k.

Дата добавления: 2014-01-07