Дополнительные св-ва интегрела

B b b

B

Замена переменной в определенном интеграле

B

X

A

A

X

∫ f(t)dt – первообразная f(x), F(x) – любая первообразная f(x)

a

x ∫f(t)dt = F(x) +C a

подставляем вместо x,a

∫ f(x)dt=f(a)+C

0= f(a)+C

C= - f(a)

∫ f(t)dt = F(x) – F(a) x=b

a

∫ f(t)dt = F(b) – F(a)

a

b b

∫ f(x)dx = F(x) = F(b) – F(a)

a a

Теорема:

y=f(x) непр на [a,b]

x=φ(t) непр на [α,β]

φ(t): [α,β] → [a,b], a= φ(α), b= φ(β),=>

b β

∫ f(x)dx = ∫ f(φ(t)) φ ´ (t)dt

a α

Док – во:

∫ f(x)dx = ∫ f(φ(t)) φ ´ (t)dt

если F(x) – первообр. для f(x), то

F(φ(t)) – первообр. для f(φ(t)) φ ´ (t)

∫ f(x)dx = F(b) – F(a)

a

β

∫ f(φ(t)) φ ´ (t)dt = F(φ(β)) – F(φ(α)) = F(b) – F(a)

α

например:

3 π/2 π/2 π/2 π/2

∫ √9-x2 dx= ∫ √9-9sin 2t 3cost dt=9 ∫ cos2t dt= 9/2 ∫ (1+cos2t)dt=9/2(t+(sin2t)/2) =9π/4

0 0 0 0 0

замена

x=3sint y=√9-x2

dx=3costdt y2=9-x2

x=0→t=0 x2+ y2=9

x=3→t= π/2

Интегрирование по частям в опред интеграле.

Теорема

u(x), v(x) непр,дифф-ма на [a,b] =>

b b b

∫ udv = uv – ∫ vdu

a a a

Док – во:

d(uv)=udv +vdu

∫ d(uv) = ∫ udv+ ∫ vdu

a a a

b b b

uv = ∫ udv+ ∫ vdu,

a a a

b b b

∫ udv = uv – ∫ vdu

a a a

например

π/2 π/2 π/2 π/2 π/2

∫ xcosx dx= ∫ xdsinx=xsinx – ∫ sinxdx=π/2+cosx = π/2 – 1

0 0 0 0 0

e e

1) f(x) – чет => ∫ f(x)dx=2 ∫ f(x)dx

-e 0

e

2) f(x) – нечет => ∫ f(x)dx=0

-e

T a+T

3) f(x) – T-периодическая => ∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx " a

0 a

(f(x+T)=f(X))

Дата добавления: 2014-01-07