Лекция 16. Экономические риски и теория игр

ГРАММИРОВАНИЯ

1. Теоретико-игровая модель.

План.

2. Решение матричных игр с нулевой суммой.

3. Оптимальные смешанные стратегии и задачи линейного программирования.

4. Доминирующие стратегии и другие факты теории игр.

1. Изучение экономического риска базируются на разных концепциях. Одна из них – концепция теории игр и статистических решений.

Теория игр – это раздел математики, в котором изучаются математиче- ские модели принятия решений в условиях неопределённости и конфликтности сторон. Основателями теории игр являются американские ученые Джон фон

Нейман (1903-1957) и Оскар Моргенштерн (1902-1977). Игра – это модель конфликтной ситуации, имеющая определённые правила действий ее участни- ков, которые стараются победить путем выбора оптимальной стратегии поведе-

ния. Субъект принятия решения называется игроком, а целевая функция – пла-

тёжной функцией.

Первый игрок может выбрать одну из стратегий поведения i (i =1, m),

второй игрок – одну из своих стратегий j (j =1, n). У игроков нет информа-

ции о том, как поведёт себя противоположная сторона. Они могут только пред-

полагать.

Оба игрока знают значение выигрыша

aij

при выборе первым стратегии

i, а вторым – стратегии j. Платёжная матрица имеет вид:

⎛ a 11

a 12

...

a 1 n ⎞

⎜ ⎟

A = ⎜ a 21

a 22

...

a 2 n ⎟.

⎜............ ⎟

⎜ ⎟

⎝ am 1

am 2

...

amn ⎠

Пример 1 (игра в «старые» и «новые» товары). Два производителя те- левизоров стараются вытеснить друг друга с рынка. Первый производит «ста- рые» товары – три модели с жидкокристаллическим экраном (ЖКЭ). Второй производит «новые» товары – две модели телевизоров с плазменным экраном (ПЭ).

При появлении 1-й модели ПЭ объём продаж 1-й модели ЖКЭ снизился до 40% (составил 0,4 от поступивших в продажу), для 2-й модели ЖКЭ – соста- вил 0,5 и т.д. (табл. 1).

Табл. 1. Объём продаж первого производителя

	Второй игрок (ПЭ)
1-я модель	2-я модель
Первый игрок (ЖКЭ)	1-я модель	0,4	0,8
2-я модель	0,5	0,9
3-я модель	0,7	0,8

Выигрыш первого игрока является проигрышем для второго. Платёжная

матрица первого игрока A +, второго – A −:

⎛0, 4 0,8 ⎞

A + = ⎜ 0, 5 0, 9 ⎟,

⎛ −0, 4

A −= ⎜ −0, 5

−0,8 ⎞

−0, 9 ⎟.

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜0, 7 0,8 ⎟

⎜ −0, 7

−0,8 ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Перед нами матричная игра двух лиц. Т.к.

+ −

aij

+ aij

= 0, (i =1, m,

j =1, n),

то это игра с нулевой суммой.

Достаточно рассматривать игру с точки зрения одного из игроков (на-

пример, первого). Поэтому в дальнейшем будем иметь дело с платёжной мат-

рицей:

⎛0, 4 0,8 ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

A = ⎜ 0, 5 0, 9 ⎟.

⎜0, 7 0,8 ⎟

2. Оптимальной стратегией игрока называется стратегия, обеспечивающая игроку при многоразовом повторения игры максимально возможный средний выигрыш V, который называют ценой игры. Решить игру – означает найти оптимальную стратегию для каждого игрока и цену игры. Это будет решение в чистых стратегиях.

Первый игрок, не зная, как поведёт себя второй, для каждой своей страте-

гии i определяет минимальный (т.е. гарантированный) выигрыш

Справа от платёжной матрицы записывают минимумы по строкам:

α i = min aij.

j

⎛ a 11

a 12

...

a 1 n ⎞ α1

⎜ ⎟

A = ⎜ a 21

a 22

...

a 2 n ⎟

α2.

⎜............ ⎟

...

⎜ ⎟

⎝ am 1

am 2

...

amn ⎠ α m

Выберем среди чисел α i

максимальный элемент:

max α i = max min aij = α.

i i j

Число α называется нижней чистой ценой игры или максимином. Но-

мер строки

i 0, в которой находится α, определит номер предпочтительной

стратегии первого игрока.

Для каждой стратегии j второго игрока выбирают максимальные эле-

менты

цам:

β j = max aij. Под платёжной матрицей записывают максимумы по столб-

i

⎛ a 11

a 12

...

a 1 n ⎞ α1

⎜ ⎟

A = ⎜ a 21

a 22

...

a 2 n ⎟ α2

⎜............ ⎟

....

⎜ ⎟

⎝ am 1

β1

am 2

β2

...

...

amn ⎠ α m

β n

Среди чисел β j

выбирают минимальный элемент:

min β j = min max aij = β.

j j i

Число β называется верхней чистой ценой игры или минимаксом. Но-

мер столбца

j 0, в котором находится β, определит номер предпочтительной

стратегии второго игрока.

Теорема 1 (о максимине и минимаксе). Для любой матричной игры двух лиц с нулевой суммой и ценой игры V имеет место неравенство:

α ≤ V ≤ β.

Если же в игре с матрицей A нижняя и верхняя чистые цены игры совпадают,

то игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры V *:

V * = α = β.

Из формулировки теоремы следует, что седловая точка определяет пару

Дата добавления: 2014-01-07