Рассмотрим поведение диэлектриков в электрическом поле

Уравнение Пуассона

Общая задача электростатики состоит в том, чтобы по распределению зарядов в пространстве определить потенциал j и, следовательно, напряжённость.

Из соотношений и получаем уравнение

,

описывающее распределение потенциала по заданному распределению заряда.

В декартовой системе координат

(D - оператор Лапласа), поэтому уравнение принимает вид. Это уравнение Пуассона.

При отсутствии зарядов (r=0) получаем уравнение Лапласа:.

При решении подобной задачи необходимо задать граничные условия – значения потенциала или напряжённости на границе рассматриваемой области.

Лекция 3. Электростатическое поле в диэлектрике.

Электрический диполь в электростатическом поле. Поляризация диэлектриков. Электростатическое поле в диэлектрике. Поляризованность. Свободные и связанные заряды. Связь поляризованности с плотностью связанных зарядов. Вектор электрического смещения. Обобщение теоремы Гаусса. Поле на границе раздела диэлектриков.

Все вещества состоят из атомов и молекул, которые, в свою очередь состоят из заряженных частиц. Эти заряженные частицы находятся в постоянном движении, поэтому при классическом описании их движения будут рассматриваться усреднённые по времени величины. Если в веществе есть электрические заряды, способные относительно свободно перемещаться в пределах тела даже под действием слабого электрического поля, то такие вещества относятся к так называемому классу проводников. Соответственно, вещества, в которых нет «свободно» движущихся зарядов (при обычных условиях), относятся к диэлектрикам.

Замечание. Это деление на классы проводников и диэлектриков весьма условно. Некоторые вещества, являющиеся проводниками в определённых условиях, становятся диэлектриками в других, и наоборот.

Замечание. В проводниках, находящихся в электрическом поле, суммарное внутреннее электрическое поле характеризуются нулевой напряженностью. В диэлектриках напряженность суммарного поля отлична от нуля.

Заряды, не входящие в состав вещества, будем называть сторонними (но они могут находиться внутри вещества). Эти заряды создают электрическое поле, которое будем называть внешним.

В диэлектрике при нормальных условиях нет свободно движущихся носителей зарядов. Все заряды, из которых состоит диэлектрик, связаны друг с другом. Их называют связанными. Электрические заряды образуют молекулы. Если в отсутствии внешнего электрического поля электрические заряды в молекуле пространственно разделены, то молекула называется полярной, в противном случае – неполярной.

+q¢

-q¢

Во внешнем электрическом поле неполярная молекула вытягивается вдоль силовой линии поля, а полярная разворачивается. Можно приближенно считать, что крайние связанные заряды двух соседних диполей в глубине диэлектрика взаимно компенсируются, но заряды, расположенные вблизи поверхности диэлектрика ничем не скомпенсированы. Эти некомпенсированные заряды создают дополнительное электрическое поле внутри диэлектрика, которое изменяет внешнее поле. Это явление разделения связанных зарядов и появления дополнительного поля называется поляризацией диэлектрика.

Теперь опишем поляризацию количественно.

-q

q

a

В простейшем случае молекулу можно представить как два одинаковых по величине, но противоположных по знаку заряда. Такая система зарядов называется диполем. Электрическим дипольным моментом называется векторная величина, где q – величина заряда, L – расстояние между зарядами. (Единица измерения Кл×м).

Вектор электрического дипольного момента диполя направлен от отрицательного заряда к положительному.

На диполь, помещенный в электрическое поле, действует момент пары сил, величина которого

.

В векторном виде

.

В состоянии равновесия диполя вектор дипольного момента параллелен вектору напряженности поля.

В отсутствии внешнего поля в диэлектрике с полярными молекулами диполи ориентированы хаотически. В диэлектрике, находящемся в электростатическом поле, в состоянии равновесия диполи преимущественно расположены вдоль поля.

Рассмотрим в диэлектрике некоторый физически малый объем величиной V. Введем вектор поляризованности вещества

.

Единица измерения Кл/м². В однородном изотропном диэлектрике этот вектор направлен параллельно вектору напряженности, поэтому можно записать:

.

Безразмерный параметр æ называется коэффициентом поляризуемости или диэлектрической восприимчивостью вещества.

Рассмотрим тонкий косой цилиндр, ось которого параллельна вектору напряженности внешнего поля.

a

,

где q ¢ - величина связанного заряда. Обратите внимание: величина вектора не зависит от количества суммируемых диполей – она определяется только поверхностной плотностью связанного заряда.

Отсюда получаем для нормальной составляющей вектора поляризованности

.

Нормальная составляющая вектора поляризованности равна поверхностной плотности связанного заряда.

Теперь найдём поток вектора поляризованности через некоторую малую поверхность S:

.

Таким образом, поток вектора поляризованности через некоторую малую площадку равен величине связанного заряда, создающего этот вектор.

Рассмотрим поток этого вектора через некоторую замкнутую ориентированную поверхность внутри диэлектрика

.

Предположим, что вектор поляризованности направлен наружу, т.е. внутри поверхности суммарный связанный заряд отрицательный. Тогда, учитывая, что поток вектора положительный, а заряд отрицательный имеем:

.

Это теорема Гаусса для вектора поляризованности в интегральном виде. Соответственно, в дифференциальном виде:

.

Запишем теорему Гаусса для электростатического поля внутри диэлектрика:

,

(здесь указано, что электрическое поле создается сторонними зарядами с объемной плотностью r и связанными зарядами с объемной плотностью r¢). Умножим обе части последнего соотношения на и получим:

,

.

Введём новый вектор:

,

который называется вектором электрического смещения или вектором электрической индукции. Следовательно, из теоремы Гаусса для вектора электрической напряженности следует теорема Гаусса для вектора электрического смещения:

.

Это теорема Гаусса для электрического поля в веществе (в дифференциальной форме).

В интегральной форме: поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, ориентированную наружу, равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью:

.

В однородном изотропном диэлектрике, поэтому

.

Если обозначить e=æ+1 – (относительную) диэлектрическую проницаемость вещества, то для вектора смещения внутри однородного изотропного диэлектрика получим:

.

Замечание. Для вакуума e=1 (нет вещества, поэтому æ=0). Для воздуха при условиях незначительно отличающихся от нормальных тоже e»1.

Поле на границе раздела диэлектриков.

h

L

A

B

C

D

dl

dl

E ₂

E ₁

Рассмотрим поле на плоской границе раздела (в случае неплоской границы достаточно рассмотреть малый участок).

Воспользуемся теоремой о циркуляции вектора напряженности в интегральном виде:

.

В качестве контура интегрирования выберем прямоугольник ABCD размером L ´ h, расположенный таким образом, что одна сторона DA находится в первом диэлектрике, вторая BC – во втором, а граница делит прямоугольник пополам.

.

При устремлении h ®0 значения второго и четвёртого интегралов стремятся к нулю.

Но, где E_t – касательная составляющая вектора напряженности.

Поэтому.

h

L

n

n

D ₂

D ₁

Окончательно, - на границе раздела диэлектриков величина касательной составляющей вектора напряженности электрического поля не меняется.

Теперь применим теорему Гаусса в веществе:

.

В качестве поверхности интегрирования выберем прямой цилиндр высотой h, основания которого (площадью S каждое) параллельны границе раздела. Пусть граница раздела делит пополам цилиндр. Тогда получим:

.

Учтем, что, где D_n – нормальная составляющая вектора смещения.

Если высота цилиндра стремится к нулю h ®0, то интеграл по боковой поверхности цилиндра стремится к нулю, поэтому

.

В пределе, получаем:

.

Изменение величины нормальной составляющей вектора смещения на границе раздела диэлектриков равно плотности стороннего заряда на границе.

Если на границе нет сторонних зарядов (s=0), то нормальная составляющая вектора смещения не меняется:.

Если рассмотреть теорему Гаусса для вектора поляризованности в интегральной форме

,

то можно, по аналогии, записать:

.

Изменение величины нормальной составляющей вектора поляризованности равно с обратным знаком поверхностной плотности связанного заряда.

E

E_n

E_t

a

Соотношения на границе диэлектрика (при отсутствии сторонних зарядов) можно переписать в виде:,. Если ввести угол отклонения силовой линии от нормали к границе диэлектрика, то для углов по разные стороны от границы получим:

.

При e₂>e₁ получаем a₂>a₁ – в диэлектрике с большей относительной проницаемостью силовые линии больше отклоняются от вертикального направления.

Т.е. в диэлектрике силовые линии электрического поля сгущаются. Говорят, то диэлектрик «накапливает силовые линии».

Пример. Рассмотрим поле внутри и снаружи равномерно заряженного шара. Диэлектрическая проницаемость внутри постоянна и равна e>1. Вне шара e=1. Пусть заряд шара q >0, а радиус R, тогда объемная плотность заряда

.

Задача имеет сферическую симметрию.

При r < R в качестве поверхности интегрирования возьмем концентрическую сферу меньшего радиуса. Поверхность ориентирована наружу. Вектор смещения и нормаль в каждой точке параллельны друг другу. По теореме Гаусса:

.

Поэтому при r < R получаем: величина смещения, а для напряжённости поля,

.

Снаружи при r > R напряжённость поля.

Видно, что на границе раздела величина вектора напряженности терпит разрыв при r = R:

<.

Этот «разрыв» величины напряжённости вызван наличием на поверхности диэлектрика связанных зарядов.

На границе шара сохраняется нормальная составляющая вектора смещения: действительно, вектор направлен по радиусу, поэтому его нормальная составляющая равна величине вектора. Но на границе шара.

Величина поляризованности внутри шара

.

Вне шара величина вектора поляризованности (e₂=1)

.

Вектор внутри шара направлен по радиусу (т.к. он направлен также как), поэтому его нормальная составляющая равна величине вектора.

Поэтому на границе должно выполняться:, откуда плотность связанных зарядов на поверхности шара:

.

Поверхностный связанный заряд.

Из теоремы Гаусса для вектора поляризованности найдём объёмную плотность связанного заряда.

Для сферически симметричного случая, поэтому.

Откуда связанный заряд внутри шара.

Общий связанный заряд всего шара.§

Дата добавления: 2014-01-06