Лінійний простір. Лінійна залежність і лінійна незалежність

Додавання рядків з однаковою кількістю елементів це додавання відповідних елементів. Множення рядка на число це множення всіх елементів рядка на це число. Це лінійні операції з рядками (стовпцями).

Означення. Якщо для деякої множини об’єктів V виконуються такі властивості:

x є V, y є V=> x + y є V; x є V, k є ℝ => kx є V (замкнутість множини V відносно додавання та множення на число). Також виконуються властивості:
перестановочна (комутативність): x+y=y+x;
розподільча (асоціативність): (x + y) + z = x + (y + z);

існує єдиний нульовий елемент 0 є V, такий що 0+х=х для будь-якого х є V;

для кожного елемента х є V існує єдиний протилежний вектор –х, такий що х+(-х)=0;

1×х=х;

(km)x=k(mx)

дистрибутивні: k(x + y) = kx +ky, (k+m)x=kx+mx (x,y,z є V, k, m є ℝ).

Тоді множина V- називається лінійним простором (над полем дійсних чисел).

Елементи лінійного простору часто називають векторами незалежно від їх природи.

Множина n-елементних рядків очевидно (легко перевіряються всі аксіоми) є лінійним простором над ℝ.

Аксіоми лінійного простору залежні (подумати), але несуперечливі, бо ми вказали множину об’єктів, що їх задовольняє.

З аксіом лінійного простору легко виводяться звичні формули:

0×х=0; -х= -1×х;

х+у=х+z Þ у= z (правило скорочення)

kх=0 Û k=0 або х=0.

Вправа. Вивести ці формули.

Природно вводиться дія віднімання х-у=х+(-у), для якої теж можна використовувати дистрибутивність (довести).

Можна переносити доданки рівняння з однієї сторони в іншу, змінюючи знак.

Означення 1. Елементи лінійного простору p₁, p₂,…, p_n (n³2) називаються лінійно залежними, якщо один з них можна виразити через інші з допомогою додавання і множення на число.

Елементи називаються лінійно незалежними, якщо жоден з них не виражається через інші.

Зауваження. Якщо серед елементів є нульовий, то очевидно, що він виражається через інші (взяти нульові коефіцієнти), тобто така сукупність є лінійно залежною. Тому один нульовий елемент теж називають лінійно залежним.

Означення 2. Елементи p₁, p₂,…, p_n (n³1) називаються лінійно залежними, якщо існують числа 𝜆₁, 𝜆₂,…, 𝜆_n, не всі рівні нулю, що виконується рівність:

𝜆₁×p₁ +𝜆₂×p₂+…+𝜆_n×p_n = 0.

Ліва частина цієї рівності називається лінійною комбінацією елементів p₁, p₂,…, p_n з коефіцієнтами 𝜆₁, 𝜆₂,…, 𝜆_n.

Якщо лінійна комбінація елементів дорівнює нульовому елементу тільки при всіх нульових коефіцієнтах, то вони називаються лінійно незалежними.

Теорема. Означення 1 і означення 2 еквівалентні.

Доведення. Нехай p₁, p₂,…, p_n лінійно залежні за означенням 1, тобто

наприклад, p_n лінійно виражається через інші p_n = с₁×p₁+с₂× p₂+…+с_n-1×p_n-1 .

Перенесемо всі доданки в праву частину: с₁×p₁+с₂× p₂+…+с_n-1×p_n-1 - p_n =0.

Коефіцієнт біля p_n дорівнює -1 (¹0). Тому також є лінійна залежність за означ.2.

Навпаки, якщо p₁, p₂,…, p_n лінійно залежні за означенням 2:

𝜆₁×p₁ +𝜆₂×p₂+…+𝜆_n×p_n = 0, і наприклад 𝜆_n¹0. То можна виразити р_n через інші:

р_n = (-𝜆₁ / 𝜆_n)×p₁ +(-𝜆₂ / 𝜆_n)×p₂+…+(-𝜆_n-1 / 𝜆_n)×p_n-1, тобто елементи лінійно залежні за означ.1.

Вправи (довести)

1. Якщо серед елементів є нульовий, то вони лінійно залежні.

2. Якщо серед елементів є однакові, або пропорційні (х та kх), то вони також лінійно залежні.

3. Якщо до лінійно залежних елементів добавити деяку кількість елементів, то нова сукупність залишиться лінійно залежною.

4. Один елемент лінійно залежний тоді і тільки тоді, коли він нульовий.

5. Коли будуть лінійно залежними два елементи?

Властивість визначників 11. Визначник дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його рядки (стовпці) лінійно залежні.

Доведення. Достатність. Нехай рядки p₁, p₂,…, p_n визначника лін. залежні, тобто

𝜆₁×p₁ +𝜆₂×p₂+…+𝜆_n×p_n = 0, і наприклад 𝜆_n¹0. Поділимо рівність на 𝜆_n:

(𝜆₁ / 𝜆_n)×p₁ +(𝜆₂ / 𝜆_n)×p₂+…+(𝜆_n-1 / 𝜆_n)×p_n-1, +р_n = 0. Отже, якщо ми до рядка р_n додамо попередні, помножені на числа (𝜆_і / 𝜆_n), то визначник не зміниться, але на місці рядка р_n отримаємо нульовий рядок, тобто визначник дорівнює нулю.

Необхідність. Нехай визначник D =0. Якщо в нього є нульовий рядок, то рядки вже лінійно залежні. Припустимо, що немає нульового рядка. Отже, в першому рядку є ненульовий елемент а_1і. З допомогою додавання помноженого його на числа до інших рядків в і-тому стовпці під а_1і можна зробити всі нулі. При цьому будь-який (не перший) рядок стане лінійною комбінацією його самого з коефіцієнтом 1 і першого рядка. Якщо після цієї операції появиться нульовий рядок, то це означає, що початкові рядки теж були лінійно залежними. Знайдемо в другому рядку ненульовий елемент а_2j в деякому j-тому стовпці (j¹i) і, додаючи помножений другий рядок до інших рядків, зробимо всі нулі в даному j-тому стовпці, крім а_2j. (При цьому і-тий стовпець не зміниться.) Якщо ще не буде нульового рядка, то повторюючи цю операцію n разів, ми прийдемо до визначника, в якому в кожному рядку і стовпці буде по одному ненульовому елементу, тобто цей визначник дорівнює добутку цих ненульових елементів із деяким знаком. Тому D ¹0. Протиріччя. Отже, на деякому кроці ми все ж таки отримаємо нульовий рядок, що й означатиме, що рядки лінійно залежні.

Дата добавления: 2014-01-06