Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на этом же перемещении

Если сумма работ сил положительна, то V₂>V₁ т. е. кинетическая энергия точки возрастает, если же эта сумма отрицательна, то V₂<V₁ кинетическая энергия точки убывает. Применяя эту теорему к движению несвободной материальной точки, следует освободить эту точку от связей, заменив их действие соответствующими реакциями. При движении точки по неподвижной гладкой поверхности (идеальная связь) реакция этой поверхности направлена по нормали к этой поверхности, а потому ее работа при перемещении точки по поверхности равна нулю.

Следовательно, изменение кинетической энергии материальной точки в этом случае равно сумме работ на соответствующем перемещении всех задаваемых сил, приложенных к точке. При движении материальной точки по неподвижной шероховатой поверхности действует сила трения , направленная противоположно скорости точки. Работу этой силы можно определить по формуле (60.7):

Здесь , так как направления силы трения F и скорости точки V противоположны. В правой части уравнения (62.3) в stom случае, кроме работ задаваемых сил, содержится и работа силы трения F:

§ 67. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ (ТЕОРЕМА КЕНИГА)

Кинетическая энергия механической системы определяется как сумма значений кинетической энергии всех входящих в эту систему материальных точек: (67.1)

Положим, что система материальных точек М₁,М₂,...,M_і...,М_n движется как угодно в пространстве (рис. 151).

Выберем неподвижную систему отсчета Oxyz. В качестве подвижной системы отсчета возьмем систему осей ξ,η,ζ, проведенных через центр масс системы параллельно неподвижным осям х, у, z и движущихся с центром масс поступательно. Тогда абсолютное движение системы точек можно рассматривать как совокупность поступательного движения системы вместе с центром масс (переносное движение) и относительного движения системы по отношению к центру масс.

Абсолютная скорость ,- любой точки M_i механической системы определится как геометрическая сумма скорости центра масс и относительной скорости этой точки в ее движении относительно центра масс.

(67.2)

Из векторной алгебры известно, что скалярное произведение двух одинаковых векторов равно квадрату их модуля. Действительно, .

Преобразуем выражение кинетической энергии (67.1), учитывая формулу (67.2): (67.3)

В полученном выражении первое слагаемое можно преобразовать , где - масса всей системы.

Покажем, что второе слагаемое равно нулю. Для этого проведем из центра масс С радиусы-векторы во все точки системы. Радиус-вектор центра масс .

Согласно формуле (32.1) радиус-вектор центра масс системы,

Следовательно, и

Так как радиус-вектор проведен из начала координат подвижной системы отсчета, то производная представляет собой относительную скорость точки : (67.4)

На основании (67.4) второе слагаемое (67.3) равно 0:

Тогда выражение (67.3), определяющее кинетическую энергию системы, принимает вид: (67.5)

Равенство (67.5) выражает теорему о кинетической энергии механической системы: кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии центра масс системы, масса которого равна массе всей системы, и кинетической энергии этой системы в ее относительном движении относительно центра масс.

Эта теорема была установлена голландским математиком С. Кёни гом (1751 г.).

Дата добавления: 2014-01-07