КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Геометрический смысл
Понятие дифференциала функции, его свойства и Лекция 6.2. Понятие дифференциала функции и его применение в приближенных вычислениях План: 1. Понятие дифференциала функции, его свойства и геометрический смысл 2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях 3. Производные и дифференциалы высших порядков
Одним из самых важных понятий дифференциального исчисления наряду с понятием производной, является понятие дифференциала функции. Эти два понятия разные, хотя и тесно связаны друг с другом. Понятие дифференциала первоначально появилось в работах Готфрида Лейбница (1646-1716).
Пусть функция дифференцируема на отрезке . Как мы знаем, производная функции определяется по формуле: По теореме о применении бесконечно малых при вычислении пределов , где бесконечно малая функция при Домножив обе части равенства на , получим Таким образом, приращение функции представлено в виде суммы двух бесконечно малых слагаемых. Очевидно, что второе слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка и при оказывается несущественным и достаточно малым по сравнению с первым. Следовательно, основное влияние на приращение функции оказывает первое слагаемое. Его и называют дифференциалом функции и обозначают . Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно , часть приращения функции в этой точке: (6.1) Рассмотрим функции Для неё Таким образом, , что позволяет переписать формулу дифференциала (6.2) Итак, дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента. Такая форма записи является общепринятой. Пример 5… Дана функция Найти в точке при
Решение. Поскольку то Пользуясь равенством , получим Пример 5.2. Найти дифференциал функции Решение. В этом примере не указана определенная точка и не дано конкретное приращение . Поэтому, учитывая, что получим: или Дифференциал, как и производную можно определить графически. Геометрический смысл дифференциала Пусть функция в точке имеет производную Проведем к графику этой функции в точке касательную (рис. 28). Дадим значению приращение . Точка на графике функции соответствует значению аргумента Обозначим через угол наклона касательной к положительному направлению оси Из прямоугольного треугольника имеем То есть Рис. 28 Как следует из геометрического смысла производной поэтому можем записать Получаем, что дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной проведенной к графику этой функции в точке , при изменении аргумента от значения к значению Свойства дифференциала 1) дифференциал функции является линейной функцией от 2) дифференциал функции отличается от приращения на величину, которая при условии, что , представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем т.е. 3) Инвариантность формы дифференциала: всегда можно записывать в форме независимо от того, является независимой переменной или же функция другой переменной.
Правила для вычисления дифференциала
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 810; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |