Расчет страховой премии для одной модели эволюции страховой компании

Модель, основанная на мультиномиальном распределении числа аварий (общий случай).

Предположим опять, что проводится “ ”- независимых испытаний (например, «n»- число дней в году, одно испытание – день) и предположим, что в каждом испытании может произойти одно из событий

, т.е..

Множество - интервал, в который попадает величина иска при аварии, то есть если - величина иска в «»– ый день года находится в пределах от до,.

Пусть как и ранее - множество, при попадании в которое величина иска не принимается к рассмотрению, (например, где d – франшиза), при попадании величины иска во множество клиенту выплачивается, например, средняя сумма -. Пусть вероятности попаданий во множества соответственно равны

..

очевидно, что.

Пусть - число попаданий исков соответственно во множества тогда очевидно, что.

По формуле мультиномиального распределения вероятность такого исхода за “год” (за срок “ ”) равна

,

где.

Как и раньше будем считать, что если клиент в течение срока “ ” ни разу не обращался в страховую компанию, то ему в конце срока возвратят цену страхового полиса с процентами. Это будет величина, где - процентная ставка за период страхования, то есть величины исков в первом испытании (в первый день года) и во втором и в любом другом находились в пределах от 0 до d, то есть иски клиентами к страховой компании не предъявлялись.

Тогда, как и раньше, выплаты компании конкретному - ому клиенту будет равны

,

- здесь - индикатор события А.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Справедливо следующее:

. (1)

Действительно

Итак,

.

Следовательно, формула (1) доказана.

Вычислим дисперсию. Так как

,

заметим, что

,

то

,

Итак,

,

и, таким образом,

(2)

Найдём выражение для цены страхового полиса, используя гауссовское приближение. Пусть собственный капитал компании. Тогда вероятность разорения страховой компании

Решая уравнение

,

получим квантиль, или

. (3)

Величину находим из последнего уравнения. Предположим теперь, что “ ” достаточно велико (например, = 365 это достаточно большое число с точки зрения предельных теорем теории вероятностей).

Предположим так же, что вероятности - малы, а именно сравнимы с, то есть

Вычислим и. Воспользуемся представлением (1) для подсчета соответствующей суммы

.

Так как

то

.

Таким образом, при большом “ ” средние выплаты - ому клиенту за период страхования в “ ” дней равны

,

что совпадает с формулой (5) предыдущей лекции.

Вычислим дисперсию величины при. В силу представления (2) имеем

,

что совпадает с формулой (6) предыдущей лекции.

Рассмотрим модель коллективного иска со следующей схемой поступления индивидуальных исков.

Пусть дана последовательность временных интервалов одинаковой единичной длины:

0 1 2 …………….к к+1…………. N-1 n

Пусть - последовательность независимых бернуллиевских величин, то есть таких, что

Значение означает, что в интервале страховой компании предъявлен иск, - означает, что иска нет. Такой процесс поступления исков называется биномиальным.

Зависимость вероятности предъявления иска от номера интервала означает, что в разное время (например, в летнее или зимнее) эти вероятности изменяются, что например очень наглядно проявляется в автомобильном страховании. Выплаты по искам происходят в конце интервала. Размер выплаты на интервале описывается случайной величиной, причём, - последовательность независимых одинаково распределённых, принимающих положительные значения случайных величин, имеющих функцию распределения:

Зависимость функции распределения величины иска от номера интервала, то есть от времени также вполне реальное требование, так как вероятности больших ущербов в зимнее время при автомобильном страховании значительно больше, чем ущерб при таком страховании в летнее время, то есть в зимнее время функция распределения величины ущерба имеет более «тяжелый хвост», чем в летнее. Будем также предполагать, что страховые взносы поступают в начале интервала и равны некоторой величине, (), то есть поток поступлений от клиента образует ренту пренумерандо. Таким образом, к моменту времени в интервале страховая компания получит от каждого клиента сумму, равную.

Предположим, что действующая процентная ставка. Тогда полученный от j –го клиента поток средств на момент времени 0 равен сумме.

Действительно, дисконтируя поток поступающих средств по ставке, мы получим сумму:

,

где - множитель приведения стандартной ренты постнумерандо. Таким образом, такой поток поступлений страховых премий от j -го клиента (в начале каждого интервала по) равносилен одномоментному взносу в размере в нулевой момент времени, поэтому в дальнейшем мы не будем различать эти случаи.

Дисконтируя поток выплат - му клиенту на нулевой момент времени мы будем иметь

.

Таким образом, если застрахованы однотипных договоров страхования и потоки исков, по которым независимы в совокупности, то - независимые одинаково распределённые случайные величины (здесь и - независимые значения соответственно последовательностей и). Суммарная величина исков к страховой компании от клиентов будет равна сумме независимых случайных величин

.

В силу независимости величин,

для разных индексов и между собой имеем

(1)

где

Далее, очевидно также, что

(2)

действительно

,

,

здесь

.

Пусть - начальный капитал страховой компании, от - клиентов страховая компания получит сумму. Таким образом, можно считать, что на начальный момент времени страховая компания располагает суммой

.

Займемся расчетом страховой премии исходя из наперед заданной вероятности разорения страховой компании. Итак, пусть - вероятность разорения страховой компании, которая является некоторой малой наперед заданной величиной. На нулевой момент сумма эквивалентная суммарной величине исков от N – клиентов будет очевидно равна, а разорение страховой компании, очевидно произойдёт, если Для простоты мы будем рассматривать случаи однотипных договоров страхования, когда распределение исков страховой компании у всех клиентов одинаковы, то есть не зависят от j. В этом случае мы будем иметь дело с суммой одинаково распределенных случайных слагаемых. В силу неравенства Берри – Эссена имеет место следующий результат.

Теорема. Оценка вероятности разорения страховой компании имеет вид:

(3)

где - функция Лапласа, а математическое ожидание и дисперсия задаются формулами (1) и (2) соответственно.

Для оценки скорости сходимости в формуле (3) надо знать величину либо её оценку сверху. В силу того, что

,

имеет смысл подсчитать

В силу неравенства Розенталя для случайных величин с нулевым средним имеем для:

(4)

- здесь - пуассоновская случайная величина с параметром 1.

Вычислим

(5)

здесь

Далее, так как

то из (4) и (5) следует

Учитывая последнее неравенство нетрудно заметить, что

(6)

Расчёт величины страхового полиса производится следующим образом: от заданного отнимается правая часть (6). Обозначим результат такого действия (). По данному () ищем, где - корень уравнения.

Пусть этим корнем будет величина. Решая уравнение

получаем, что единоразовый взнос в начальный момент равен

(7)

Если перейти к схеме текущих взносов в начале каждого периода страхования, получим

(8)

Дата добавления: 2014-01-07