Динамическая модель страхования, описываемая стохастическим дифференциальным уравнением

Об одной статической модели страхования

Пусть дисконтированный поток выплат - ому клиенту страховой компании за период страхования описывается величиной

где - некоторая мера, - компенсатор меры (в общем случае случайная мера), - сила роста процентов. Предположим, что в компании застраховано клиентов, каждый из которых покупает страховой полис за сумму. Пусть собственный капитал компании “ ”. Предположим, что выплаты клиентам - независимые одинаково распределенные случайные величины, тогда - сумма независимых случайных величин равна суммарной выплате страховой компании своим клиентам за период от нуля до.

Вероятность разорения компании тогда будет

Так как

где

- здесь

то, воспользовавшись обобщенной формулой Ито, для имеем

откуда

В силу того, что

имеем

Таким образом

(1)

Очевидно, что если компенсирующая мера - неслучайная, то вместо неравенства (1) легко получить неравенство

(2)

Из (2) следует: пусть вероятность разорения - некоторая заданная малая величина, тогда

,

откуда

а с учетом того, что получаем

Из последней формулы видно, чем меньше - вероятность разорения компании, тем больше цена страхового полиса. При большом числе застрахованных, чтобы было существенное влияние начального капитала компании на величину страхового полиса капитал компании должен быть сравним с. Чем больше процентная ставка, тем меньше цена страхового полиса, это согласуется с действительностью, так как при большей процентной ставке эквивалент выплат клиенту, рассчитанный на начало страхования будет меньше, так что хватит и меньшей стоимости полиса, чтобы не разориться.

Очевидно также следующее: если компенсирующая мера - случайная, а

то из (2) следует, что

.

Предположим, что скорость поступлений в страховую компанию зависит от состояния компании, а именно от ее текущего капитала.

Пусть - капитал компании на момент времени, то есть доход за вычетом страховых выплат, - сумма, которая поступила от клиентов за время от 0 до (очевидно, что если).

Пусть за время от до в страховую компанию поступит величина

тогда, и - скорость поступления средств. Обоснуем возможную зависимость от.

Пусть - неслучайная, такая, что, если, то есть чем больше текущий капитал компании, тем больше приток средств - «деньги» к «деньгам». Этот факт можно, например, объяснить хорошей рекламой, которую в свою очередь можно осуществить при наличии достаточных средств, либо, например, выплатой дивидендов, которая возможна (это обосновано теоретически) если капитал компании достаточно большой. Чем больше капитал компании - тем меньше вероятность ее разорения, стало быть, она более надежна, с точки зрения клиента и он заключит с ней договор страхования.

Таким образом, будем считать, что мы привели достаточно доводов для того, чтобы обосновать условие

если

Естественно, также, если является функционалом от траектории, это означает, что поступления зависят от динамики процесса накопления компанией средств за время от 0 до, а не только от состояния компании на момент времени.

Многим клиентам важно знать, насколько стабилен капитал, есть ли рост, с какой скоростью и т.д. Все это может быть учтено в соответствующем функционале

Суммарные выплаты страховой компании за время от 0 до в общем случае также имеют вид

Например, если в моменты поступления иска клиенту выплачивается еще и дивиденд D, а дивиденд, как правило, зависит от текущего капитала компании на данный момент, то есть, то суммарные выплаты компании с учетом дисконтирования (кстати - сила роста процента, может быть зависящей от, если процентная ставка меняется во времени, то есть если, то) за время от 0 до всем своим клиентам будут равны

Таким образом, текущий капитал страховой компании в момент времени будет удовлетворять стохастическому дифференциальному уравнению (- будет его решением)

где - начальный капитал компании. Из теории стохастических дифференциальных уравнений известно, что уравнение будет иметь единственное сильное решение, если, например, соответствующие коэффициенты растут не быстрее, чем линейная функция на бесконечности и они достаточно «гладкие» по фазовой переменной, например, удовлетворяют условию Липшица.

Аналогично тому, как это уже делалось ранее, построим экспоненциальную оценку для вероятности разорения страховой компании, если текущий капитал компании является решением стохастического дифференциального уравнения вида

(1)

Будем предполагать, что решение этого уравнения существует и единственно.

Займемся построением экспоненциальной оценки для вероятности разорения страховой компании. Очевидно, что разорение наступит, если при каком – либо, тогда

- здесь случайный процесс имеет вид

- текущий капитал компании, являющийся решением уравнения (1). Пусть - неубывающий поток s - алгебр, порожденный на основном вероятностном пространстве процессом. Выясним условия, при которых случайный процесс будет мартингалом относительно семейства. Применив обобщённую формулу Ито к функциям, имеем

,

- здесь

Интегрируя последнее выражение в пределах от до, получаем

Воспользовавшись свойствами условных математических ожиданий от стохастических интегралов по мартингальным мерам, получаем

то есть для того, чтобы был мартингалом относительно семейства надо потребовать, чтобы с вероятностью 1 выполнялось

тогда

,

и

откуда

Таким образом, воспользовавшись в очередной раз неравенством Колмогорова, получим

В силу того, что процесс будет мартингалом, если выполнено

последнее же будет выполнено, если, например,

т.е. достаточным условием для того, чтобы процесс был мартингалом необходимо, чтобы выполнялось равенство

где - процесс поступления средств в компанию является неупреждающим функционалом от. Очевидно, что, если с вероятностью 1

то вероятность разорения компании также не будет превосходить.

В заключении рассмотрим следующий пример. Пусть компания заключила однотипных договоров, поток требований от одного клиента с неслучайной компенсирующей мерой, то есть поток однородный во времени; требования отдельных клиентов образуют независимые между собой потоки с одинаковыми интенсивностями. Тогда - мера, характеризующая суммарный поток требований клиентов к страховой компании будет с интенсивностью. Пусть

цена одного страхового полиса, тогда сумма, полученная от застрахованных в начале периода страхования, очевидно, равна, пусть - собственный капитал страховой компании на начало периода страхования. Предположим, что сумма размещена на банковском депозите, например под сложные проценты с процентной ставкой, тогда через время на банковском счету страховой компании будет сумма, за этот же период страховой компанией по требованиям клиентов будет выплачена сумма (всем клиентам)

здесь - текущий капитал страховой компании на момент времени, то есть

Поставим следующую задачу: найти цену страхового полиса, которая обеспечила бы в «среднем» прирост капитала страховой компании к концу срока.

Пусть

тогда

Пусть, тогда в силу того, что

имеем

или

либо

Решая это уравнение, получим

Так как

то есть

имеем

Пусть - конец периода страхования, при больших, то есть при большом числе застрахованных, средний капитал страховой компании на конец срока страхования Т очевидно будет эквивалентна величине (при)

Для того чтобы страховая компания имела к концу рассматриваемого срока доход (в среднем) необходимо, чтобы ее средний капитал был больше чем начальный - “ ” на. Таким образом для нахождения цены страхового полиса надо решить уравнение

,

откуда

Таким образом

где - нагрузка.

В случае простых процентов имеем

откуда, обозначив, получаем

т.е.

Решая это уравнение, получим

При большом числе застрахованных, эквивалентно величине

решая уравнение

получим

то есть

где - нагрузка.

Дата добавления: 2014-01-07