Расчет оптимальных управлений для случая

Решение задачи Р.Мертона для модели Кларка.

Пусть – капитал инвестора на момент времени, – начальный его капитал. Инвестор управляет своим капиталом следующим образом:

- управление - доля капитала, который вкладывается в акции;

- -доля капитала, который ложится на банковский счёт,

причем скорость потребления на момент времени, если капитал инвестора на этот момент был равен.

Уравнение для цены акции имеет вид:

, (40)

тогда приращение цены акции

.

В денежном исчислении доля средств будет составлять сумму. На сумму можно купить штук акций, вклад в банк составит сумму. Так как - скорость расходования средств в момент времени, при капитале, то расход средств за время. Нетрудно заметить, что справедливо «приблизительное» равенство

и при получаем:

(41)

Везде в дальнейшем будем предполагать, что скорость потребления принадлежит классу функций,

- непрерывна по, - непрерывны по совокупности аргументов и ограничены). (42)

Этих ограничений достаточно для того, чтобы процесс, для всех оставался положительным.

Далее, функция, дважды непрерывно дифференцируема по и дифференцируема по.

Предполагаем, что выполняется условие (42). Случай соответствует поведению инвестора не склонного к риску.

Введем функционал качества

тогда цена управления имеет вид

.

Составим уравнение Беллмана для этого функционала качества:

(43)

От правой части равенства (43) возьмем производную по, получим

,

отсюда оптимальное потребление

(44)

тогда если функционал искать в виде

,

будем иметь

а так как

то в точке

правая часть (43) будет иметь максимум для любого фиксированного значения. Таким образом, имеем

(45)

Пусть

(46)

тогда для нахождения оптимального управления будем иметь уравнение

,

или

(47)

Рассмотрим вторую производную на промежутке

(48)

Так как

тогда на промежутке вторая производная меньше нуля и, следовательно, на промежутке функция выпукла вверх, поэтому имеет максимум.

Из (47) следует

(48)

тогда, если, то корень уравнения (47); если, то функция на промежутке возрастает. И так как из (46) следует, что

(49)

тогда, если, то максимумом будет если, то в силу (49) максимумом будет если, то в силу (49) максимумом будет

Подставляя оптимальные управления в уравнение Беллмана, получаем дифференциальное уравнение для:

Сократив на получим

. (50)

Так как не зависит от, то можно положить

,

(51)

тогда уравнение (50) примет вид

Сделаем замену

Тогда, получим

или

(52)

Отсюда получаем, что

и соответственно

тогда оптимальное управление имеет вид

а цена

(53)

Если в (52), тогда получим

и тогда

Последний результат можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Теорема 2. Предположим, что эволюция цены акции описывается процессом (40). - корень уравнения (47).

1) если, то максимум функционала качества будет достигаться при

2) если, то максимум функционала качества будет достигаться при

3) если, то максимум функционала качества будет достигаться при,

здесь - оптимальная доля вложений в акции, остаток (доля) вкладывается на банковский счёт, при этом оптимальное потребление будет равно

1) если:

2) если

и цена управления равна

1) если:

2) если

где

Дата добавления: 2014-01-07