Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях

Компакты.

Определение Множество называется компактом, если из любой последовательности точек этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке из этого же множества.

Теорема (критерий компакта).

Для того чтобы множество было компактом необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто и ограничено.

Функция, непрерывная на компакте:

1) ограничена на нем;

2) достигает на нем свое наибольшее и наименьшее значения.

не ограничена и нет наибольшего значения

§4.7. Классификация разрывов функции.

Функция непрерывна в точке , тогда разрывность в точке

2) Если в точке , то говорят, что в точке разрывность первого рода или устранимый разрыв: если переопределить значение функции в точке и назначить это значение равное , то получим непрерывную функцию.

Пример:

Пусть - не непрерывная функция

- функция станет непрерывной

1) Если в точке предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что в этой точке разрыв второго рода.

Если - внутренняя точка , тогда непрерывность в точке равносильна непрерывности как справа, так и слева, значит разрывность в точке равносильна наличию разрыва либо справа, либо слева.

Определение имеет в точке разрыв первого рода справа (слева), если

- разрыв второго рода

- разрыв

- непрерывность

Определение Двусторонний разрыв в точке называется разрывом первого рода, если односторонние разрывы в этой точке только первого рода и разрывом второго рода, если хотя бы одна из односторонних – разрыв второго рода.

Дата добавления: 2014-01-06