Теорема Бернуллі і стійкість відносних частот

Теорема. Нехай – число появ події в незалежних випробуваннях Бернуллі, – відносна частота цієї події, – імовірність появи події в одній спробі. Тоді для будь-якого

, (3)

тобто відносна частота події збігається за ймовірністю до її ймовірності .

Із твердження теореми Бернуллі випливає, що коли число випробувань є достатньо великим, то для будь-якого числа подія є практично вірогідною, тобто відносна частота події має властивість стійкості.

Зазначимо, що теорему Бернуллі можна розглядати як окремий випадок наведеного вище наслідку з теореми Чебишова, оскільки випадкова величина може бути представлена сумою незалежних однаково розподілених випадкових величин:

.

Це означає, що в теоремі Бернуллі йдеться про збіжність середнього арифметичного випадкових величин до математичного сподівання величини , тобто до ймовірності .

Зауважимо також, що в умовах теореми Бернуллі нерівність Чебишова, застосована до випадкової величини , має вигляд:

. (3')

Зауваження. На підставі теореми Бернуллі не слід робити висновок, що . Остання рівність означає, що для всіх , де – деяке велике натуральне число і – як завгодно мале число. А теорема Бернуллі тільки стверджує, що ймовірність є близькою до одиниці при досить великих , а нерівність для деяких навіть великих може не виконуватися.

Приклад 2. Використовуючи нерівність (3'), установити, яке число експериментів треба провести, щоб відхилення відносної частоти появ події від імовірності за абсолютною величиною було меншим за з імовірністю, не меншою за . Отриманий результат порівняти з оцінкою для , обчисленою за допомогою інтегральної формули Лапласа.

Розв’язання. За умовою задачі ; ; . Із нерівності (3') маємо:

,

тобто заданого відхилення відносної частоти події від її ймовірності буде досягнуто, якщо проведемо не менше ніж, випробувань.

Оцінки тепер ймовірність заданого відхилення за допомогою інтегральної теореми Лапласа. Одержимо:

.

За умовою задачі:

.

За таблицею значень інтегральної функції Лапласа знайдемо . Ураховуючи останню нерівність та беручи до уваги, що функція – монотонно зростаюча, маємо:

.

Звідси шукане число випробувань .

Отже, у даному випадку, як і в прикладі 1, застосування нерівності Чебишова дає грубу оцінку.

Дата добавления: 2014-01-07