Особенности нелинейных систем

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Система автоматического управления (САУ) является нелинейной, если хотя бы один ее конструктивный элемент (или одно ее алгоритмическое звено) описывается нелинейным уравнением. Если переменные y(t), x(t) и их производные входят в дифференциальное уравнение в виде произведений, частных или степеней, то уравнение является нелинейным.

Практически все реальные САУ содержат один или несколько нелинейных элементов (или так называемых нелинейностей). Нелинейными могут быть как элементы неизменяемой части системы, так и элементы изменяемой (синтезируемой) части.

В первом случае говорят о сопутствующих нелинейностях. К ним относятся, например, исполнительные органы с ограниченной пропускной способностью (вентили, клапаны), исполнительные устройства с ограниченным диапазоном воздействия (электрические и гидравлические исполнительные механизмы с ограниченным ходом, регулируемые источники напряжения с насыщением), кинематические передачи с зазором или трением. Нелинейной характеристикой часто обладает и объект управления.

Нелинейная форма характеристик указанных элементов, как правило, нежелательна, но они функционально необходимы для работы системы.

Некоторые нелинейные элементы вводятся конструктором в систему преднамеренно — для улучшения качества управления. Такими нелинейностями являются, например, релейные управляющие устройства. Они обеспечивают высокое быстродействие процесса управления, выгодно отличаются от других управляющих устройств простотой, надежностью и экономичностью. Применяются также и нелинейные корректирующие устройства.

Различают два вида нелинейных элементов, существенно нелинейные и несущественно нелинейные. Нелинейность считается несущественной, если ее замена линейным элементом не изменяет принципиальных особенностей системы и процессы в линеаризованной системе существенно не отличаются от процессов в реальной системе. Если же такая замена невозможна и процессы в линеаризованной и реальной системах сильно отличаются, то нелинейность является существенной.

САУ с существенными нелинейностями обладают рядом принципиальных особенностей, которые не присущи линейным системам и не могут быть выявлены при исследовании линеаризованного уравнения САУ.

Главная особенность существенно нелинейных САУ заключается в том, что они не подчиняются принципу наложения (суперпозиции), а характер и показатели переходного процесса зависят от величины внешнего воздействия или начального отклонения. Например, при малом начальном отклонении x₁(0), меньшем некоторого критического значения х_кр, переходный процесс может быть апериодическим (рис.13.1,а - линия 1), а при большом начальном отклонении х₂(0) > х_кр - колебательным (см.рис.13.1,а - линия 2).

Рисунок 13.1. Особенности нелинейных САУ

Другой важной особенностью динамики существенно нелинейных САУ является зависимость условий устойчивости от величины внешнего воздействия: САУ, устойчивая при одних значениях начального отклонения, оказывается неустойчивой при других его значениях. На рис.13.1,б показаны переходные процессы х₁ и х₂, один из которых вызван большим начальным отклонением и сходится к устойчивому колебательному процессу, а второй, вызванный малым начальным отклонением, расходится и тоже стремится к этому колебательному процессу.

В связи с этим для нелинейных САУ применяют понятия «устойчивость (неустойчивость) в малом», «устойчивость (неустойчивость) в большом», «устойчивость в целом». Система устойчива в малом, если она устойчива только при малых начальных отклонениях. Система устойчива в большом, если она устойчива при больших начальных отклонениях. Система устойчива в целом, если она устойчива при любых отклонениях.

Специфической особенностью нелинейных САУ является также режим автоколебаний. Автоколебания - это устойчивые собственные колебания, возникающие из-за нелинейных свойств системы. На рис.13.1,б процессы х₁ и х₂ переходят в автоколебания с момента t_a. Режим автоколебаний нелинейной системы принципиально отличается от колебания линейной системы на границе устойчивости. В линейной системе при малейшем изменении ее параметров колебательный процесс становится либо затухающим, либо расходящимся. Автоколебания же являются устойчивым режимом: малые изменения параметров системы не выводят ее из этого режима. Амплитуда автоколебаний х_т не зависит от начальных условий и уровня внешних воздействий.

Автоколебания в нелинейных САУ в общем случае нежелательны, а иногда и недопустимы (как незатухающие колебания в линейных системах). Однако в некоторых нелинейных САУ автоколебания являются основным рабочим режимом.

Рассмотрим в качестве примера нелинейной САУ систему стабилизации температуры с нелинейным управляющим устройством (рис.13.2). В качестве управляющего устройства применено трехпозиционное реле Р, на обмотку которого подано напряжение разбаланса и_р моста М. Одним из плеч моста является термосопротивление ТС, помещенное в рабочее пространство объекта.

При отклонении температуры от заданной нарушается равновесие моста и реле подает напряжение и_д определенной полярности на исполнительный двигатель ИД, который при помощи задвижки З увеличивает или уменьшает подачу топлива в объект.

Рисунок 13.2. Система стабилизации температуры с нелинейным управляющим устройством

В этой системе имеется существенно нелинейный элемент -трехпозиционное реле (рис.13.2), и ей присущи все указанные выше особенности. Например, при определенных значениях параметров в системе могут возникнуть автоколебания: температура будет непрерывно колебаться вокруг некоторого среднего значения, равного величине . Автоколебания будут возникать, если открывание и закрывание задвижки после включения двигателя будут происходить очень быстро. При этом температура будет быстро возвращаться к заданному значению и «проскакивать» зону нечувствительности реле, а двигатель будет снова и снова то увеличивать, то уменьшать подачу топлива.

Для устранения этих автоколебаний и улучшения динамических свойств системы в ней с помощью потенциометра П_ос осуществлена внутренняя отрицательная обратная связь по положению регулирующего органа - углу а поворота задвижки 3.

Примером нелинейной САУ является также система стабилизации уровня жидкости в баке. Уровень измеряется с помощью поплавкового датчика уровня ДУ который замыкает цепи контактов К₁ или К₂.

Когда уровень h (управляемая величина) равен заданному значению, подвижный контакт находится в нейтральном (среднем) положении. При этом якорная цепь исполнительного двигателя ИД обесточена и он не вращает регулирующий клапан РКл. Если уровень h снизится или повысится, с потенциометра П через контакты К₁ или К₂ на двигатель будет подано напряжение и_Д необходимой полярности, и он будет открывать или закрывать клапан. Процесс увеличения или уменьшения подачи Q_П будет происходить до тех пор, пока уровень не примет заданное значение.

Существенно нелинейным элементом этой системы является управляющее устройство, состоящее из контактов К₁ и К₂ и потенциометра П.

Нелинейные САУ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, теория которых разработана не столь полно, как теория линейных дифференциальных уравнений. Существует рад точных и приближенных методов, позволяющих решать лишь некоторые частные задачи анализа нелинейных систем. Наибольшее распространение в инженерной практике получили методы фазового пространства, гармонической линеаризации, критерий абсолютной устойчивости и метод моделирования на ЭВМ.

При анализе нелинейных систем обычно решают следующие задачи:

1) отыскание возможных состояний равновесия системы и оценка их устойчивости;

2) определение возможности существования автоколебаний и оценка их устойчивости;

3) выявление соотношений между параметрами системы, при которых возникают автоколебания;

4) определение параметров автоколебаний и их связи с параметрами системы.

Дата добавления: 2014-01-07