КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Уточнення коренів рівняння методом хорд
Доведення За теоремою Лагранжа.
#
(МЕТОД ПРОПОРЦІЙНИХ ВІДРІЗКІВ)
Нехай дано рівняння . Залишемо в силі припущення попереднього параграфа. Розглянемо геометрично.
Мал.1 Мал.2
Виведемо рекурентну формулу для побудови наближення:
... (2) Доведемо збіжність даного процесу: послідовність монотонно зростає і обмежена зверху, тому , в рівнянні (2) перейдемо до границі: Зауваження: в загальному випадку за нерухому точку вибирають той кінець відрізка [a,b] в якому знак функції f співпадає з знаком другої похідної, тоді (2) буде: , (3) Другий кінець проміжка зручно вибирати за початкове наближення. Виведемо формулу для оцінки точності. Нехай похідна неперервна на [a,b], тоді вона приймає найбільше і найменше значення, тобто , . Застосуємо теорему Лагранжа:. Розкривши душки додавши до обох частин рівності вираз і звівши подібні доданки, отримаємо:. Врахувавши межі зміни похідної (4) (5). Виникає питання про можливість використання оцінки (5), коли мінімум похідної =0. Теорема: нехай на відрізку [a,b] функція f(x) неперервна разом зі своїми похідними до 2-го порядку включно, причому . Нехай також похідні зберігають на [a,b] сталі знаки, тобі існує такий окіл кореня , що для початкового наближення з цього околу послідовність (), яка обчислюється за формулою (3), збігається до . Доведення Щоб скористатися принципом стискуючого відображення досить показати, що в деякому околі R кореня похідна функції , задовільняє умову . Підставимо :. Запишемо для f(x) формулу Тейлора і обмежимося 3-ма доданками, тобі:. Підставивши в останню рівність x=c, отримаємо: , оскільки при : то можна виділити такий окіл R:
§5 МЕТОД ДОТИЧНИХ (МЕТОД НЬЮТОНА)
Розглянемо геометричну інтерпритацію даного методу. Нехай маємо рівняння (1) і всі умови попереднього § виконуються. Беремо точку B, проводимо в ній дотичну.
Рівняння дотичної в точці має вигляд , знайдемо точку : (2) Зауваження: в якості вихідної точки слід вибирати той кінець відрізка [a,b] в якому функція має той самий знак, що і її друга похідна. У випадку зображеному на малюнку послідовність монотонно спадає і обмежена знизу, а отже вона збіжна, тобто . Перейшовши до границі в рівності (2) отримаємо: В загальному випадку справедлива така теорема. Теорема: нехай на відрізок [a,b] функція f(x) неперервна разом з своїми похідними другого порядку включно. Тоді існує деякий окіл , що послідовність обчислена за формулою (2) збігається до кореня рівняння.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 377; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |