Алгоритм перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду (метод Гауса – Жордано)

Знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень

Властивості невироджених матриць

1) .

2) .

3) .

4) .

Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то вона називається виродженою або особливою.

1. Зводять матрицю до східчастого вигляду (прямий хід метода Гауса).

2. Відкидають нульові рядки (це вже не є елеменарним перетворенням).

3. Останній рядок ділять на його лідера, одержують 1.

4. Додаючи до решти рядків новий останній рядок, помножений на відповідні коефіцієнти, дістають нулі над одиницею.

5. Повторюють кроки 1-4 для решти рядків (зворотній хід метода Гауса).

Процедуру перетворення матриці до зведеного східчастого вигляду називають методом Гауса – Жордано.

Будь-яку квадратну матрицю n -ого порядка з лінійно незалежними рядками можна перетворити в одиничну матрицю. Нехай А – квадратна матриця

n -ого порядка. Дописавши справа від неї одиничну матрицю Е, отримаємо матрицю розмірністю , яку називають розширеною матрицею.

Схема знаходження оберненої матриці методом Гауса –Жордано.

Крок 1. Утворюють розширену матрицю .

Крок 2. Застосовують до матриці прямий хід метода Гауса.

Матрицю А приводять до східчастого вигляду, одночасно перетворюючи і праву частину розширеної матриці.

Крок 3. Якщо матриця Z – східчаста форма матриці А, містить нульові рядки, то роблять висновок про те, що матриця А не має оберненої. Якщо матриця Z не має нульових рядків, то матриця А – має обернену, і матрицю Z вже зворотнім ходом метода Гауса перетворюють в одиничну матрицю Е. Таким чином розширену матрицю перетворюють до зведеного східчастого вигляду:

~...~.

Крок 4. Виписують матрицю - праву частину розширеної матриці.

Приклад 5.2. Знайти матрицю обернену заданій методом Гауса - Жордано.

Дата добавления: 2014-01-07