Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дифференціальні рівняння вищого порядку




(3)

де порядок рівняння, можна звести до системи типу (1) чи (2) з допомогою таких перетворень:

(4)

Таким чином, розв’язок (3) зводиться до розв’язку системи диференційних рівнянь першого порядку.(4).

Метод Ейлера – простий метод першого порядку. Він реалізується наступною рекурентною формулою:

Yj(i+1) = Yji + hFj(xi, Yji)

де - шаг інтегрування. Метод має похибку пропорційну .

Метод Ейлера- Коші с ітераціями полягає в розрахунку на кожному кроці проміжного значення:

Розв’язок уточнюється ітераційною формулою

Метод має похибку R пропорційну ~. Число ітерацій не повинно бути більше 4, інакше слід зменьшити шаг .

Модифікований метод Ейлера другого порядку реалізується наступними рекурентними формулами:

Yj(i+1) = Yji + hFj(xi +h/2,Yj(i+1/2))

де Yj(i+1/2) = Yji + hFj(xi, Yji)/2. Метод має похибку R пропорційну ~ (h3), та менший час обчислень.

 

Метод трапецій - один з модифікацій методу Эйлера другого порядку. Він реалізується формулою:

Yj(i+1) = Yji + (Kj1 + Kj2)/2

де Kj1 = hFj(xi, Yji), Kj2 = hFj(xi,+h, Yji + Kj1), дає похибку R ~.

Не рекомендується використовувати цей метод, коли пошукова функція має різну крутизну.

Метод Рунге-Кута четвертого порядку є найбільш розповсюдженим при постійному . У нього висока точність - похибка R ~- і менший нахил до розбіжності розв’язку. Алгоритм реалізації методу Рунге-Кута полягає в циклічних обчисленнях на кожному кроці по таким формулам:

K1j = hFj(xi, Yji)

K2j = hFj(xi,+h/2, Yji + K1j /2)

K3j = hFj(xi,+h/2, Yji + K2j /2)

K4j = hFj(xi,+h, Yji + K3j)

Yj(i+1) = Yji + (K1j + 2K2j + 2K3j + K4j)/6

При переході від однієї формули до іншої задаються або обчислюються відповідні значення xi и yi та підпрограмою значення функції .

Перед початком циклу потрібно задати шаг і початкові значення:

Метод Рунге-Кута для диференційного рівняння другого порядку виду

Спочатку потрібно задати шаг і початкові значення: та

Розв’язок одного диференційного рівняння методом Рунге-Кута виконується по вказаним формулам, якщо в них опустити індекс , а з алгоритму видалити цикли. Це різко спрощаує програму і дозволяє отримати мінімально можливий час розрахунку.

яка має похибку ~, обчислюються наступними формулами:

 


Лекція 18. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗКУ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ

Методи розв’язку крайових задач розглядаються на прикладі звичайного диференціального рівняння другого порядку

y¢¢ + p(x)y¢ + q(x)y = f(x) (1)

при граничних умовах

a0y(a) + a1y¢ (a) = A, (2)

b0y(b) + b1y¢ (b) = B;

при | a0 | + | a1 | ¹ 0, | b0 | + | b1 | ¹ 0, a £ x £ b. (де a0, a1, b0, b1, a, b, A, B – деякі числа).

Методи розв’язку крайових задач можна розділити на три групи: різницеві, проекційні і методи, засновані на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші (методи «стрільби»).

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 364; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.