Потенціальна енергія системи частинок

Розглянемо замкнуту систему, між частинками якої діють тільки центральні сили, тобто сили консервативні. Покажемо, що робота всіх цих сил над всіма частинками системи (при переміщенні всіх частинок системи) може бути представлена як зменшення (антиприріст) деякої функції, яка залежить тільки від відносних відстаней, тобто від взаємного розташування частинок системи. Цю функцію називають власною потенціальною енергією системи на відміну від потенціальної енергії, яка характеризує взаємодію даної системи з іншими тілами.

Розрахуємо роботу . Тут . Дію зовнішніх сил поки що не враховуємо, . . Тоді

.

Розглянемо спочатку, який вигляд буде мати вираз для двох частинок:

.

Врахуємо, що і введемо позначення (рис.47). Тоді елементарну роботу можна записати так

.

Оскільки сила – центральна, то, як було показано раніше, елементарна робота такої сили дорівнює зменшенню (антиприросту) потенціальної енергії взаємодії даної пари частинок, тобто

.

Далі можна було б розглянути систему із 3-х частинок і т. д., але розглянемо відразу систему із довільної кількості частинок. Елементарна робота, яку виконують всі сили взаємодії при елементарних переміщеннях всіх частинок системи дорівнює сумі елементарних робіт, яка вже визначена формулою. Запишемо цей вираз у вигляді суми

Поміняємо місцями індекси у другому члені. Від цього сума не зміниться, а зміниться лише порядок розташування членів суми.

Враховуючи, що , з останнього рівняння отримаємо

Тут під сумою записана робота сил взаємодії між двома довільними та частинками

Очевидно, якщо поміняти місцями індекси , то

.

Оскільки сили – консервативні, то роботи цих сил дорівнюють антиприросту потенціальної енергії взаємодії даної пари частинок

.

Тоді

.

Позначений тут вираз

називають власною потенціальною енергією системи.

Запишемо цей вираз, наприклад, для трьох частинок:

.

Тут – потенціальна енергія взаємодії -ої частинки з усіма частинками системи.

Або це можна записати так (оскільки ):

.

Дата добавления: 2014-01-06