Оценка погрешностей результатов измерений

Субъективная погрешность

Как известно, субъективная погрешность может складываться в общем случае из погрешности отсчитывания и грубой ошибки (про­маха). Промах непредсказуем и поэтому не может быть заранее оценен.

Погрешность отсчитывания D_отс в системе шкала - стрелка (у стре­лочных приборов) и в системе сетка - пятно (у осциллографов) по природе одинаковы. Погрешность отсчитывания содержит две составляющих: интерполяции и параллакса. Погрешность интерпо­ляции неизбежно возникает всегда, когда требуется количественно выразить положение стрелки, точки, границы отрезка в долях де­ления, в координатах сетки шкалы экрана ЭЛО. Погрешность интерполяции определяется квалификацией оператора, размерами пятна, расстоянием между соседними делениями шкалы. Погреш­ность параллакса в ЭЛО вызвана тем, что поток электронов вызы­вает свечение на внутренней поверхности экрана ЭЛТ, а сетка, как правило, нанесена на внешней поверхности защитного стекла. Именно толщина стекла экрана и защитного стекла (аналог расстояния между стрелкой и шкалой у стрелочных приборов) и рож­дает эту погрешность. Количественную оценку этих составляющих в различных изданиях предлагается осуществлять по-разному. Пред­лагаем для простоты и легкости запоминания оценивать значения этих составляющих одинаково (по одной десятой веса одного де­ления сетки экрана):

D_отс = ±(0,1α + 0,1α) = ±0,2 α,

где α - вес одного деления шкалы экрана по оси Y или X.

Это совпадает с подходом к оценке погрешности от­считывания в аналоговых стрелочных измерительных приборах.

У некоторых моделей ЭЛО сетка нанесена на обеих поверхно­стях (внешней и внутренней) защитного стекла. Грамотное исполь­зование этой конструктивной особенности позволяет уменьшить погрешность параллакса до пренебрежимо малых значений. В этом случае следует учитывать только первую составляющую - погреш­ность интерполяции:

D^*_отс = ±0,1 α.

Если в ЭЛО имеется режим цифрового отсчета значений амп­литудных и временных параметров, то погрешность отсчитывания вообще отсутствует.

Наиболее часто используются два режима формирования изображения Y - t; Y - X. Рассмотрим вопросы оценки погрешностей результатов измерений в этих режимах.

4.4.1. Режим линейной развертки (режим Y - t)

В случае осциллографических измерений значения амплитудных и временных параметров сигнала находят по его изображению на экране (т.е. по осциллограмме) посредством определения paзмеров линейных отрезков. Поэтому, во избежание значительный погрешностей, важно выбирать оптимальные значения коэффициентов отклонения по каналам Y и X, т.е. такие, при которых интересующий нас параметр представляется отрезком наибольшей возможной (в пределах сетки экрана) длины. Чем меньше размер нужного параметра на осциллограмме, тем хуже, так как тем больше относительная погрешность его определения.

Проиллюстрируем это примером расчета предельных инструментальных и субъективных погрешностей результата измерения временных параметров. Пусть по изображению периодического сигнала требуется определить значения длительности импульса τ_и и периода повторения T импульсной последовательности (рис. 4.28, а), а также оценить инструментальные погрешности результатов.

Рис. 4.28. Выбор коэффициента отклонения по оси X (скорости развертки)

а – 200 мкс/дел; б – 50 мкс/дел.

Известны значения коэффициента отклонения по оси X (скорости развертки) K_{X 1} = 200 мкс/дел. и его относительная погрешность δ _{X 1} = ±3 %.

Результат измерения периода T (см. рис. 4.28, а):

Т= 6,5 дел.·200 мкс/дел. = 1300 мкс.

Инструментальная статическая D_и и субъективная (отсчитывания) D_с составляющие общей погрешности D результата измере­ния периода T равны, соответственно:

D_и = (δ _{X 1} / T) = (±3·1300)/100 = ±39 мкс;

D_с = ±2(0,1·дел.) = ±2(0,1·200) = ±40 мкс.

Окончательная запись результата измерения периода Т в этом эксперименте выглядит следующим образом:

Т= 1300 мкс; D = ±79 мкс; р _дов = 1.

Результат измерения длительности импульса τ_и1 на этой (пер­воначально выбранной) скорости развертки (см. рис. 4.28, а) оп­ределяется следующим образом:

τ_и1 = 1,3·200 = 260 мкс.

Инструментальная D_и1 и субъективная D_с1 составляющие, а так­же общая абсолютная погрешность измерения D₁ в этом (первом) измерении равны, соответственно:

D_и1 = (δ _{X 1} τ_и1)/100 = (±3·260)/100 = ±7,8 мкс;

D_с1 = ±2(0,1 · дел.) = ±2(0,1·200) = ±40 мкс;

D₁= ±47,8 мкс.

Предельное значение суммарной относительной погрешности измерения длительности импульса δ₁ при этом составит:

δ₁ = (D·100)/ τ_и1 = ±(47,8·100)/260 ≈ ±18,4 %.

Такое значение погрешности может оказаться недопустимо большим. В этом случае целесообразно для повышения точности измерения длительности импульса перейти на другой коэффици­ент отклонения (развертки), например, изменить на коэффициент K_{Х 2} = 50 мкс/дел. (рис. 4.28, б). Предположим, что погрешность δ _{X 2} при этом значении коэффициента отклонения (на этом диапазоне развертки) отличается от предыдущего и равна δ _{X 2} = ±4 %. В этом эксперименте (см. рис. 4.28, б) результат измерения длительности импульса τ_и2 составит, допустим:

τ_и2 = 5,1 · 50 = 255 мкс.

Предельные значения инструментальной D_и2 и субъективной D_с2 составляющих, а также общие абсолютная D₂ и относительная δ₂ погрешности измерения в этом (втором) измерении соответственно равны:

D_и2 = (δ _{X 2} · τ_и2)/100 = ±(4 · 255)/100 = ±10,2 мкс;

D_с2 = ±2(0,1 ·дел.) = ±2(0,1 · 50) = ±10 мкс;

D₂ = ±20,2 мкс; δ₂ = (D₂· 100) / τ_и2 = ±(20,2 · 100)/255 = ±7,9 %.

Окончательная запись результата измерения длительности им­пульса т_н2 (во втором эксперименте) выглядит следующим обра­зом:

τ_и2 = 255 мкс; D₂ = ±20 мкс; р _дов = 1.

При измерении амплитудных и временных па­раметров надо всегда стремиться выбирать такие значения коэф­фициентов отклонения по осям, при которых искомые парамет­ры были бы представлены возможно большими линейными отрезками на экране.

Отметим, что при нахождении некоторых временных парамет­ров (например, периода сигнала) динамические характеристики канала Y практически не влияют на результат.

4.4.2. Режим Y – X

Подход к оценке погрешности результата в этом режиме также имеет определенную специфику. Рассмотрим ее на примерах использования метода фигур Лиссажу и метода эллипса.

При измерении частоты методом фигур Лиссажу (одной из peaлизаций метода сравнения) ЭЛО выступает в необычной (нехарак­терной) роли – в качестве нулевого индикатора, показывающего удобное соотношение частот. Погрешности коэффициентов откло­нения (в том числе нелинейность) и погрешности отсчитывания по обеим осям при этом не имеют значения, так как не масштабы и не J пропорции изображения определяют результат, а соотношение конеч­ных чисел (точек пересечения фигуры мысленными секущими).

Погрешность результата при неподвижном изображении oпределяется только погрешностью задания известной (образцовой) частоты генератора. Если, например, сигнал неизвестной часто­ты подан на вход X ЭЛО, а выход генератора подключен ко входу Y, и изменением частоты его напряжения получена устойчивая фигура, то абсолютная погрешность результата измерения связа­на с абсолютной погрешностью задания частоты генератора тем же соотношением, что и частоты. Относительная погрешность оп­ределения неизвестной частоты совпадает с относительной погрешностью частоты гене­ратора. Допустим, неподвижное изображение фигуры Лиссажу (рис. 4.33) получено при ча­стоте сигнала генератора, поданного на вход Y, f_Y = 1040 Гц. Относительная погрешность задания этой частоты δ _Y = ±1 %.

Рис. 4.33. Погрешность определения частоты

Соотношение числа точек пересечения фигуры вертикальной и горизонтальной секущими N _в/ N _г = 6/4, т.е. значение неизвестной частоты f_X на входе X равно:

f_X = f_Y (N _в/ N _г) = 1560 Гц.

Значения абсолютной погрешности частоты генератора D _Y и абсолютной погрешности D _X определения неизвестной частоты f_X равны соответственно:

D _Y = (δ _Y f_Y) / l00 = (±1 · 1040)/100 = ±10,4 Гц;

D _X =D _Y (N _в/ N _г) ±10,4· (6/4) = ±15,6 Гц.

Относительные погрешности частоты генератора f_Y и оценки неизвестной частоты f_x равны: δ _Y = δ _Х = ±1 %.

Запись окончательного результата данного эксперимента вы­глядит так:

f_x= 1560 Гц; Д_л-=±16 Гц; р _дов = 1.

Погрешность измерения сдвига фаз методом эллипса, в отли­чие от предыдущего случая, зависит от характеристик каналов ЭЛО. Аддитивные и мультипликативные составляющие погрешностей каналов Y и X в этом режиме не влияют на результат, так как длины отрезков а и b (или отрезков с и d) в выражении для опре­деления φ (см. подразд. 4.2):

φ = arcsin ( a / b ) = arcsin(c / d)

не зависят от аддитивного смещения, а пропорциональное изме­нение их размеров не меняет отношения их длин ( a / b или c / d).

Таким образом, погрешность результата измерения в методе эллипса определяется только погрешностями линейности и раз­ностью фазовых сдвигов Dφ усилителей каналов Y и X.

Рассмотрим влияние разности фазовых сдвигов Dφ на погреш­ность измерения. Если бы у обоих каналов фазовые сдвиги были одинаковыми (неважно какими конкретно), то Dφ была бы равна нулю, и при одновременной подаче на оба входа одного и того же синусоидального сигнала на экране возникло бы изображение отрезка прямой линии (рис. 4.34, а). У реального ЭЛО имеет место неравенство фазовых сдвигов, поэтому в этом случае вместо отрезка прямой на экране будет небольшой (узкий) эллипс (рис. 4.34, б).

4.34. Погрешность определения фазового сдвига при их равенстве у обо­их каналов и неравенстве: а, в, г - идеальный случай; б, г - реальный случай

Вследствие этого в реальном измерительном эксперименте по оценке фазового сдвига φ между исследуемыми сигналами мы по лучим на экране эллипс (рис. 4.34, в), размеры которого не будут соответствовать идеальным, а будут отражать сумму искомого фазового сдвига φ и разности Dφ (т.е. быть несколько большими). Длина отрезка с _р на реальной осциллограмме будет больше, чем в идеальном случае с _и, что и приведет к погрешности измерения фазового сдвига φ (рис. 4.34, г). При желании эту погрешность можно оценить перед экспериментом и затем скорректировать результат.

Дата добавления: 2014-01-07