Пример. Критерий произведений

Критерий произведений.

max_i(e_ir):= max_i(∏e_ij)

Правило выбора в этом случае формулируется так:

Матрица решений ||e_ij|| дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

1. вероятности появления состояния F_j неизвестны;
2. с появлением каждого из состояний F_j по отдельности необходимо считаться;
3. критерий применим и при малом числе реализаций решения;
4. некоторый риск допускается.

Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все e_ij положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг e_ij+а с некоторой константой а>|min_ij(e_ij)|. Результат при этом будет, естественно зависеть от а. На практике чаще всего

а:= |min_ij(e_ij)|+1.

Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то критерий произведений не применим.

Рассмотрим тот же пример, что и ранее (см. выше).

Построение оптимального решения для матрицы решений о проверках по критерию Гурвица имеет вид (при С=0, в 10³):

||eij||	С⋅minj(eij)	(1-С)⋅maxj(eij)	eir	maxi(eir)
-20,0	-22,0	-25,0	-12,5	-10.0	-22,5
-14,0	-23.0	-31.0	-15,5	-7.0	-22,5
	-24.0	-40.0	-20.0		-20.0	-20.0

В данном примере у решения имеется поворотная точка относительно весового множителя С: до С=0,57 в качестве оптимального выбирается Е₃, а при больших значениях — Е₁.

Применение критерия Ходжа-Лемана (q=0,33, v=0, в 10³):

∑eij⋅qj	minj(eij)	v⋅∑eij⋅qj	(1-v)⋅∑eij⋅qj	eir	maxi(eir)
-22,33	-25,0	-11,17	-12,5	-23,67	-23,67
-22,67	-31,0	-11,34	-15,5	-26,84
-21,33	-40,0	-10,67	-20,0	-30,76

Критерий Ходжа-Лемана рекомендует вариант Е₁ (полная проверка) — так же как и ММ-критерий. Смена рекомендуемого варианта происходит только при v=0,94. Поэтому равномерное распределение состояний рассматриваемой машины должно распознаваться с очень высокой вероятностью, чтобы его можно было выбрать по большему математическому ожиданию. При этом число реализаций решения всегда остается произвольным.

Критерий Гермейера при q_j = 0.33 дает следующий результат (в 10³):

||eij||	||eijqj||	eir = minj(eijqj)	maxi(eir)
-20,0	-22,0	-25,0	-6,67	-7,33	-8,33	-8,33	-8,33
-14,0	-23,0	-31,.0	-4,67	-7,67	-10,33	-10,33
	-24,0	-40,0		-8,0	-13,33	-13,33

В качестве оптимального выбирается вариант Е₁. Сравнение вариантов с помощью величинe e_irпоказывает, что способ действия критерия Гермейера является даже более гибким, чем у ММ-критерия.

В таблице, приведенной ниже, решение выбирается в соответствии с BL(MM)-критерием при q₁=q₂=q₃=1/2 (данные в 10³).

||eij||	∑eijqj	ei0j0 - minj(eij)	maxj(eij)	maxj(eij) - maxj(ei0j)
-20,0	-22,0	-25,0	-23,33		-20,0
-14,0	-23,0	-31,0	-22,67	+6,0	-14,0	+6,0
	-24,0	-40,0	-21,33	+15,0		+20,0

Вариант Е₃ (отказ от проверки) принимается этим критерием только тогда, когда риск приближается к E_возм = 15⋅10³. В противном случае оптимальным оказывается Е₁. Во многих технических и хозяйственных задачах допустимый риск бывает намного ниже, составляя обычно только незначительный процент от общих затрат. В подобных случаях бывает особенно ценно, если неточное значение распределения вероятностей сказывается не очень сильно. Если при этом оказывается невозможным установить допустимый риск E_доп заранее, не зависимо от принимаемого решения, то помочь может вычисление ожидаемого риска E_возм. Тогда становится возможным подумать, оправдан ли подобный риск. Такое исследование обычно дается легче.

Результаты применения критерия произведения при а = 41⋅10³ и а = 200⋅10³ имеют вид:

a	||eij + a||	eir = ∏jeij	maxieir
	+21	+19	+16
+27	+18	+10
+41	+17	+1
	+180	+178	+175
+186	+177	+169
+200	+176	+160

Условие e_ij > 0 для данной матрицы не выполнимо. Поэтому к элементам матрицы добавляется (по внешнему произволу) сначала а = 41⋅10³, а затем а = 200⋅10³.

Для а = 41⋅10³ оптимальным оказывается вариант Е₁, а для а = 200⋅10³ — вариант Е₃, так что зависимость оптимального варианта от а очевидна.

Дата добавления: 2014-01-07