Типы линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

Рассмотрим линейное д.у. в ч.п. второго порядка от независимых переменных

где . Коэффициенты , , и – заданные в области достаточно гладкие функции. В точках , где все коэффициенты , где , уравнение (1) вырождается в уравнение первого порядка. Далее будем предполагать, что всюду в области порядок уравнения равен двум, то есть коэффициенты одновременно в области в нуль не обращаются, причем .

Пусть – произвольная, но фиксированная точка области . Составим квадратичную форму от переменных , соответствующую уравнению (1):

. (2)

Как известно из курса алгебры квадратичная форма (2) при помощи неособого линейного преобразования переменных , приводится к каноническому виду:

, . (3)

Причем, согласно закону инерции, число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов формы (3) являются инвариантами неособенных линейных преобразований.

Определение 1. Когда все или , , т.е. когда форма (2) соответственно положительно или отрицательно определена, то д.у. (1) называют эллиптическим в точке .

Если один из коэффициентов отрицателен, а все остальные положительны (или наоборот), то д.у. (1) называют гиперболическим в точке .

В случае, когда () коэффициентов положительны, а остальные отрицательны, то д.у. (1) в точке называют ультрагиперболическим.

Если хотя бы один из коэффициентов , то д.у. в точке называют параболическим. При этом, если остальные коэффициенты одного знака, то д.у. (1) в точке называют параболо-эллиптическим; если же остальные коэффициенты имеют разные знаки, то д.у. (1) в точке называют параболо-гиперболическим.

Говорят, что в области своего задания уравнение (1) является уравнением эллиптического, гиперболического и параболического типа, если оно соответственно эллиптично, гиперболично и параболично в каждой точке области .

Если в различных частях области уравнение (1) принадлежит различным типам, то говорят, что уравнение (1) является уравнением смешанного типа в данной области .

Пример 1. Рассмотрим -мерное уравнение Лапласа

, (4)

которое определено во всем пространстве .

Составим соответствующую квадратичную форму

,

так как и поэтому , . Следовательно, уравнение (4) является эллиптическим во всем пространстве .

Пример 2. Рассмотрим -мерное волновое уравнение

ð , (5)

которое определено в пространстве , .

Составим соответствующую квадратичную форму

.

После замены , , квадратичная форма примет вид

.

Здесь один коэффициент положительный, все остальные коэффициенты отрицательные. Следовательно, уравнение (5) является уравнением гиперболического типа во всем пространстве .

Пример 3. Рассмотрим -мерное уравнение теплопроводности, заданное в :

. (6)

Составим квадратичную форму

,

, , .

Таким образом, уравнение (6) является уравнением параболического типа во всем пространстве .

В случае уравнения второго порядка от двух переменных и , уравнение (1) примет вид

. (7)

Соответствующая квадратичная форма равна

. (8)

Если , то квадратичную форму (8) можно представить в виде

. (9)

Поэтому квадратичная форма (8) положительна или отрицательно определена в точке , если . В самом деле, полагая в (9)

, ,

получим

Следовательно, если , то д.у. (7) в точке принадлежит эллиптическому типу.

Пусть . Тогда после замены

,

квадратичная форма (9) принимает вид

т.е. один из коэффициентов , , формы положителен, а другой отрицателен. Таким образом, в точке д.у. (7) принадлежит гиперболическому типу.

Пусть . Тогда заменой

,

квадратичная форма (9) приводится к виду

Отсюда видно, что один из двух коэффициентов формы равен нулю, а другой отличен от нуля. Значит д.у. (7) в точке является уравнением параболического типа.

Поэтому в случае д.у. (7) классификация уравнения определяется знаком дискриминанта .

Определение 2. Если в точке :

1) , то в этой точке д.у. (7) называется уравнением эллиптического типа;

2) , то в этой точке д.у. (7) называется уравнением параболического типа;

3) , то в этой точке д.у. (7) называется уравнением гиперболического типа.

Пример 4. Определить тип д.у. в ч.п.

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

Решение. Прежде всего заметим, что в примерах а) – в) коэффициенты д.у. в ч.п. при производных второго порядка постоянные, поэтому тип этих уравнений определяется во всем пространстве.

а). Согласно изложенной выше теории составим соответствующую данному уравнению квадратичную форму

(10)

и методом выделения полных квадратов приведем ее к каноническому виду

.

Полагая здесь

, , ,

получим

,

следовательно, д.у. а) в является уравнением эллиптического типа. В этом случае можно было воспользоваться критерием Сильвестра о положительной определенности квадратичных форм. Для этого для данного д.у. составим аналог матрицы (*) и вычислим все главные диагональные миноры

, ,

Поскольку все определители , , положительны, то в силу теоремы Сильвестра форма (10) положительно определена, поэтому данное д.у. является эллиптическим во всем пространстве.

б). В этом случае форма имеет вид

,

где , , . Отсюда видим, что данное д.у. является гиперболическим во всем пространстве.

в). Составим соответствующую квадратичную форму и приведем ее к каноническому виду

,

где , , . Один из коэффициентов канонической формы равен нулю, а остальные отличны от нуля. Следовательно, данное д.у. является параболическим в .

г). Для данного уравнения , , , поэтому . Следовательно, при уравнение принадлежит эллиптическому типу, при оно является уравнением гиперболического типа, а при () становится уравнением параболического типа. Таким образом, данное уравнение на плоскости является уравнением смешанного типа.

§ 3. Приведение к каноническому виду дифференциального уравнения второго порядка от двух независимых переменных.

Понятие характеристики

Рассмотрим д.у. в ч.п. второго порядка, линейное относительно старших производных

, (1)

в области , где – заданные дважды непрерывно дифференцируемые в функции, – заданная функция от своих аргументов.

Будем предполагать, что коэффициенты , и не обращаются одновременно в нуль в области , т.е. при любом

.

Введем вместо переменных новые независимые переменные :

(2)

где и – дважды непрерывно дифференцируемые функции в области , причем якобиан отображения (2) отличен от нуля в области :

. (3)

Тогда систему (2) можно однозначно разрешить относительно и в некоторой области точек . При этом полученные функции , будут также дважды непрерывно дифференцируемыми функциями от и .

Далее будем считать, что функция . Вычислим производные функции по новым переменным и . На основании теоремы о дифференцировании сложной функции имеем:

,

,

,

.

Итак, производные функции выражаются через производные от новых переменных и по следующим формулам:

(4)

Подставляя значения производных из формулы (4) в уравнение (1), получим

, (5)

где

(6)

Непосредственной подстановкой нетрудно показать, что

. (7)

Из равенства (7) видно, что преобразование (2) и (3) независимых переменных не меняет типа уравнения (1).

Поставим следующую задачу: как выбрать переменные и , чтобы уравнение (1) в этих переменных имело наиболее простую форму?

Для решения данной задачи попытаемся выбрать функции и , так чтобы обратить в нуль некоторые из коэффициентов , , . Заметим, что вопрос об обращении в нуль коэффициентов и эквивалентен разрешимости д.у. в ч.п. первого порядка

. (8)

Лемма. Пусть функция () и в области (или в области ). Функция является частным решением уравнения (8), тогда и только тогда, когда равенство , где , представляет собой общий интеграл обыкновенного д.у.

. (9)

Обыкновенное д.у. (9) называется характеристическим уравнением для уравнения (1), а его решения – характеристиками уравнения (1).

Рассмотрим три случая в зависимости от типа уравнения (1).

Первый случай. Пусть в области . Тогда в этой области уравнение (1) является уравнением гиперболического типа. Рассмотрим произвольную точку , в окрестности которой уравнение (1) будем приводить к каноническому виду. В этой точке или , в противном случае уравнение (1) уже имеет канонический вид. Пусть . Поскольку , тогда уравнение (9) распадается на совокупность двух обыкновенных д.у. первого порядка

, (11)

. (12)

Поскольку правые части обыкновенных д.у. (11) и (12) имеют по условию непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно и в окрестностях точки , то из теоремы существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенных д.у. 1-го порядка следует существование общих интегралов:

, , (13)

уравнений (11) и (12) и их левые части имеют непрерывные частные производные до второго порядка в окрестности точки .

Для уравнений гиперболического типа общие интегралы (13) вещественны и различны. Значит, уравнения гиперболического типа имеют два различных семейства вещественных характеристик.

В преобразовании (2) положим, что

,

где функции и в силу леммы являются соответственно непрерывно дифференцируемыми решениями уравнения (8). Тогда в силу равенств (6) в уравнении (5) . Коэффициент в окрестности точки , так как в противном случае либо , либо . Разделив на коэффициент уравнение (5), получим

. (14)

Уравнение (14) есть канонический вид уравнений гиперболического типа (1).

При уравнение (1) уже имеет канонический вид (14).

Если уравнение (1) является линейным относительно производных первого порядка и самой функции , то преобразованное уравнение так же будет линейным

.

Второй случай. Пусть в области . Тогда в области уравнение (1) является уравнением параболического типа. Так как по предположению коэффициенты , и уравнения (1) не обращаются одновременно в нуль, то в силу условия следует, что в каждой точке области один из коэффициентов и отличен от нуля. Не нарушая общности можно считать, что в точке , в окрестности которой будем приводить уравнение (1) к каноническому виду. В этом случае оба уравнения (11) и (12) совпадают и обращаются в уравнение

.

Для уравнения параболического типа имеется только одно семейство вещественных характеристик . В преобразовании (2) положим , где и есть решение уравнения (8). Возьмем за функцию любую дважды непрерывно дифференцируемую функцию так, чтобы якобиан в окрестности точки был отличен от нуля: . В уравнении (5) коэффициент , так как является решением д.у. (8). Тогда из равенства (7) следует, что коэффициент при частной производной также равен нулю, т.е. . Коэффициент в . Если в некоторой точке , то из (6) с учетом , найдем (для определенности и )

(*)

Поскольку определитель системы (*)

,

то система (*) имеет только нулевое решение . Тогда что противоречит условию в . Разделив на уравнение (5), получим

. (15)

Выражение (15) является каноническим видом уравнений параболического типа.

Третий случай. Пусть в области . Тогда в этой области уравнение (1) является уравнением эллиптического типа. Будем считать, что коэффициенты и уравнения (1) являются аналитическими функциями в области . Тогда правые части уравнения (11) и (12) также являются аналитическими функциями от переменных и . По теореме Коши – Ковалевской уравнение (11) имеет аналитическое решение

в малой окрестности точки такой, что и

в .

В преобразовании (2) положим и , причем они удовлетворяют условию

в .

Действительно, допустим, что в некоторой точке

.

Тогда будем иметь

или . (16)

Поскольку функция является аналитической в области , то для нее справедливы условия Коши – Римана:

, .

Отсюда

,

что противоречит равенству (16). Полученное противоречие доказывает, что якобиан в .

Итак, имеем и подставляя данное равенство в д.у.(8), получим тождество:

.

Разделив здесь вещественную и мнимую части тождества, будем иметь:

,

.

Из последних равенств следует, что и , причем , в противном случае получим противоречие с равенством (7).

Разделив уравнение (5) на коэффициент , получим:

. (17)

Выражение (17) является каноническим видом уравнений эллиптического типа.

При и уравнение (1) уже имеет канонический вид (17).

Дата добавления: 2014-01-07